Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Содержание параграфов 6.7, 6.8 и 6.9 переносится на Й"-действия без каких-либо затруднений. Леммы 6.10 и 6.11 нам не понадобятся (хотя они и верны). Теорема 6.12 остается справедливой, так как случай -действия сводится к случаю Zu-действия при помощи (6.20) и (6.21). Наконец, определения множеств Ia и 1'а, данные в параграфе 6.13, теорема 6.14 и замечание 6.15 также сохраняются.
Если т* — Z"-fleftcTBHe на пространстве Г2, а т — Z>-действие, полученное при помощи ограничения т* на Z^, то множество т-инвариантных состояний совпадает с множеством т*-инвариантных состояний, hT = /іт», Pt = Рт* и отображение 7г: Г2 і—> Г2, введенное в параграфе 6.17, является гомеоморфизмом.
Величина Pr(O) называется топологической энтропией Z>-действия т. Из различных определений параграфов 6.6 и 6.7 видно, что топологическая энтропия служит мерой того, насколько перемешивающим является т.5 В частности,
Если V > 1 и P1-(O) > 0, то, как нетрудно проверить, топологическая энтропия Z^-действия, порожденного каждой образующей Z>-действия т, равна +оо.
5Вероятно, точнее было бы сказать, что топологическая энтропия показывает, насколько быстро (в логарифмической шкале) при действии г дробятся открытые покрытия. Связь энтропии с перемешиванием, понимаемым в том смысле, который имеет этот термин в теории динамических систем (см. Корнфельд, Синай, Фомин [ 1 *]), также существует, но она сложнее (см., например, Рохлин [3*]). — Прим. ред.
6.19. Замечание
6.20. Топологическая энтропия
наименьшая мощность подпо-
Вариационный принцип в этом случае принимает вид
P(O) = sup h(a).
егЄ/
6.21. Относительное давление 149
6.21. Относительное давление
Пусть fi и fi' — метризуемые компактные множества с -действия-ми т и т', каждое из которых порождено v непрерывными отображениями. Предположим, что диаграмма
fi' Т> > fi'
"I "1 fi —> fi
коммутативна, а -к — непрерывное сюръективное отображение. Обозначим через I (соответственно через Ir) множество т-инвариантных вероятностных мер на fi (соответственно т'-инвариантных вероятностных мер на fi'). Пусть Ar Є (fi'), С ^ fi и Л — конечное подмножество множества Z^.. Для любого конечного открытого покрытия пространства fi' положим
ZJA', 21) = min| V"' exp Г sup А'(т'х?')\ :
(®j) — подсемейство ПОІфЬІТИЯ 21л, которое покрывает 7Г—)
и аналогичным образом определим zj^\ заменив sup на inf.
При є > 0 положим6
Zi^iA11 ?, є) = sup exp Y А\т'х?') :
?GS хЄА
S С 7г-1? и S является (Л, е)-разделенным), (A, ?, е) =Infj^exp А'(т'*0 :
?eS хеА
S' С fi и S' является (Л, є)-протяженным для 7Г_1^|.
Теперь мы можем сформулировать следующий результат.
^Возможны и другие определения; например, в Zi2j вместо sup по всем (Л, е)-разде-ленным множествам S С 77 1 можно взять одно максимальное (Л, е)-разделенное множество S С 7г 1^, а в вместо S Cfl — ВЗЯТЬ множество S G 77 1^.
150 Глава 6
6.22. Теорема7
(a) Предположим, что сг Є І. Тогда для почти всех ? Є ft относительно меры ст существует следующий предел'.
P(Ar, ?) = Iim Iimsup —log ZA(a)(A', ?, 21) =
diama^O O^oo Л(а)
=ідЬ iogZS)<-4'- «•я>=
= й'Л“Т jxfei logzS-)^' «¦ =
= ЇЗ“ÓРІадт108 г^)(А''Є?)’
который определяет измеримую т-инвариантную функцию Р(А', •) на пространстве ft.
(b) Имеет место следующий вариационный принцип'.
f P(Ar, ?)cr(d?) = sup (hTi {гт'\тї) + cr'(A')), (6.22)
J (т'ЄІ': ттCT1=CT
где относительная энтропия hT'{cr'\it) равна hTi(a’) — hT(itcr') при hT(itcr') < +оо.
Очевидно, если мера а является эргодической, то можно считать, что PiAf1 ?) не зависит от ?, и писать Р(АГ, сг) вместо Р(АГ, ?).
6.23. Следствие
Пусть v = l, F — конечное множество и M: ft К. — непрерывная функция со значениями в множестве F х F-матриц с элементами Mjk > 0. Тогда при сг-почти всех ? существует предел
Pi = Iim ilog||M(?)M(r?).. .MiTn-1Oll (6-23)
п—>оо 10
Если ft' = ft х Fz и 7г: ft' н-> ft — каноническая проекция, то Pi = = Р(А\ ?), где
А'(?, {Сх)х&) = IogM(C)^0J1, и справедлива формула (6.22).
(По поводу существования предела (6.23) см. Фюстенберг, Кестен [1] и Оселедец [1].)
7Cm. Ледрапье и Уолтерс [1].
Библиографические замечания
151
Библиографические замечания
Понятие энтропии было введено Колмогоровым и Синаем. Теперь оно является классическим для v = 1 (см. Биллингслей [1]). Случай v > 1 был рассмотрен Конзом [1].
Многое из остального содержания этой главы можно найти в работе Уолтерса [1]. Он определил топологическое давление и доказал вариационный принцип (теорему 6.12) при V = I (фактически — для непрерывных отображений). Обобщение на случай v > 1 было получено Эльсаноуси [1].
Вариационный принцип Уолтерса явился обобщением вариационного принципа для решетчатых систем (теорему 3.12). Его появлению частично способствовало промежуточное обобщение, сделанное Рюэлем в [4] (где было определено давление) и более ранние работы по топологической энтропии (см. § 6.20). Определение топологической энтропии принадлежит Адлеру, Конхейму и МакЭндрю [1]; в дальнейшем эквивалентные определения были предложены Боуэном [3]. Гудвин доказал для всех сг Є I неравенство P(O) > h(cr). Совпадение P(O) с точной верхней гранью энтропии h(-) доказано Динабургом [1] для случая конечномерного Г2, а затем Гудменом [1] для любого Г2. С технической точки зрения, существенную роль играет лемма 6.10, доказанная Гудвином.
