Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
менты разбиения 21л. Для каждого і выберем такое ?г Є 21что
j o(d?) X А(тЧ) < <7(21 А) X
щЛ хєА хЄА
Тогда
А
hT(<r, 21) + а(А) < (Л^1 H(а, ША)+a А о Tx^j
XGA
< IAI-1X^(Я^) (-Iog^(SlA) + ХА«і)) <
XGA
< Л|-1 log XexP X A(Tx^i).
і хЄА
Пусть S — такое конечное открытое покрытие пространства Cl, что каждый элемент разбиения S пересекает не более чем M элементов разбиения 21,
6.12. Теорема (вариационный принцип) 141
и пусть S' = (Sj) — какое-нибудь подпокрытие покрытия Sa. Для каждого SIa выберем ®' э Zil тогда при отображении StA ®'. каждый элемент покрытия S' имеет не более Al д прообразов. Теперь из очевидного неравенства Yl A(TxZi) ^ suP S А(тХ?) следует, что
ХЄА siSa
hT(а, SI) + cr(А) < (Л^1 log VmIaI sup У'А(т^).
j жЄЛ
Взяв минимум по всем подпокрытиям (S' ), ПОЛЗУЧИМ
hT(cr, SI) + ст(А) ^ logM + |ЛI —1 logZ\(A, ®).
Перейдя к пределу при Л оо, а затем — при diam ® —> 0, получим (6.14).]
6.12. Теорема (вариационный принцип)
При всех А Є Чо имеем
P(A) = sup[/i(<r) + ст(А)}.
cr (zT
Это основная общая теорема о топологическом давлении. Мы дадим набросок ее доказательства (предположив для простоты, что P(A) < оо). При этом в п. (а) мы следуем Боуэну ([6], § 2.В), а в п. (Ь) — Денкеру ([1], теорема 2).
(а) Для всех А Є cS и сг Є /
h(cr) + (т(A) ^ P(A). (6.15)
Идея доказательства состоит в том, чтобы убрать слагаемое log M в (6.14), заменив Х"-действие т на та. Пусть SI — борелевское разбиение пространства Cl. В силу (6.12)
hT(a, St) + а(А) = 1 hTa(a, StA(a)) +<т( ^ АотХ)
ж^Л(а)
Взяв конечное открытое покрытие S с достаточно малым diam S, выберем борелевское разбиение ®л(а) в соответствии с леммой 6.10. В силу (6.5)
142
Глава 6
и леммы 6.11, примененной к ©л(а)> приведенное выше выражение не превосходит
1
Л(а)
\hT« (<Т, ®Л(а) ) + <7 ^ Y А°ТХ~) +
ссЄА(а)
+ HiCT1 V ®Л(„)) - HiCT1 ®Л(а))] <
Y ^ота)+1о8(|Л(а)Н®|) +
X
1Л^ " хЄА(а)
+ Hia1 Ял(“) V ®л(а)) - Hia1 ®A(a))].
В силу (6.13) первое слагаемое равно P(A); величина Л(а) |" 1Iog^ |Л(а) • | ® |) стремится к нулю при а —» сю; наконец (см. упражнение 1(a)),
1
|А(о)
Hia, У®Л(„))-Я(<7, ®Л(а))
1
Л(а)
х^А(а)
1
Y [Н(<Т, {т-ХЩ V ®Л(а)) - Я(<7, ®Л(а))] <
E №> Я Утж®Л(а))тж®л(а))],
Л(а)
4/1 жЄЛ(а)
и так как diam т® ®л(а) sS diam ®, это выражение можно сделать как угодно малым (см. упражнение 1(b)).
(Ь) Для любых А Є Ч) и є > О существует такое а Є I, что
hia) + <г(А) > P(A) — Se. (6.16)
Выберем конечное открытое покрытие S = {Sj}, удовлетворяющее двум условиям:
Р(А, S) ^ P(A) - є,
и 1-4?) - АШ < є при ?, г) Є ®j. Затем возьмем такое а, что IA(O)I-1IOgdA(O)I • |®|) < ?¦, И выберем разбиение 21 = ®Л(а) в соответствии с леммой (6.10). Положив = {21 і}, рассмотрим пространства
fi = {(?,) Є (ОоГ : П с1(^“21гх) ф 0},
fi* = (?, (SUJ) Є П X О: ? Є П Cl(Ta35SliJ),
X^TLu
6.13. Равновесные состояния
143
где cl(F) — замыкание множества V. Пусть р: О* и Г2, q: О* —> О — проекции на соответствующие пространства. Определим функцию В Є c^(Q) равенством
где сг — некоторая инвариантная относительно сдвига вероятностная мера на V. (мы используем здесь теорему 3.12). В силу теорем Хана-Банаха и Маркова-Какутани (см. приложения А.3.2 и А.3.4) существует такая инвариантная относительно сдвига вероятностная мера сг* на пространстве О*, что да* = а. Пусть а = ра*; тогда а является Ta-инвариантной мерой и
(величину hT« (а) можно оценить при помощи разбиения, образованного пересечениями замыканий множеств 21*). Следовательно,
В предположении, что P(A) < +оо, введем для А Є cS множество равновесных состояний
B(3iia.) = max sup V А(тЧ)-
Тогда
(В) Sj сг( У Aotx^ + \А(а)\
хЄА (а)
s(a) ^ hTa(a) + log(|A(a)| • |S|)
+ 2є,
или, если положить сг = |Л(а)| 1 Y tX(J е > то
хЄА(а)
P(A) - Зє SC 1 hTa (a) + а (A) = hT(a) + а (А). \А(а)\
6.13. Равновесные состояния
Ia = {сг G I: h(cг) + <т(А) = Р(А)}.
144
Глава 6
Это множество может быть пустым (см., например, Гуревич [I]). В частности, оно не обязано совпадать с множеством
Va = {<т Є Ч>* : P(А + В) ^ P(A) + (т(В) при всех В Є ‘Й’}. (6.17)
Особый интерес представляет случай, когда hT — полунепрерывная сверху функция на I (см. следующую теорему). Это имеет место, если т разделяет траектории (см. предложение 6.5(b)).
6.14. Теорема
Пусть энтропия hT конечна и полунепрерывна сверху на I. Тогда
(a) Ia = I а ф 0; множество Ia является выпуклым компактным симплексом Шоке и, кроме того, гранью множества I.
(b) Множество
D = {А Є <€-. cardIa = 1}
массивно в cZo.
(c) Для всякого сг Є I
-<т(А)].
Как и при доказательстве теоремы 3.7 устанавливается, что множество Va выпукло, компактно и содержится в I, а множество
D' = {А Є : card Va = 1}
массивно в ‘Й’.
Из полунепрерывное™ сверху энтропии hT следует, что Ia ф 0, и доказательство утверждения (с) совпадает с доказательством соответствующего утверждения теоремы 3.12. Из доказательства теоремы 3.12 видно, что Ia = Ia- Следовательно, множество D = D1 является массивным в ‘Й’, что доказывает утверждение (Ь).