Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Статистическая механика переносится на системы гораздо более общего вида, чем рассматриваемые здесь классические решетчатые спиновые системы (например на квантовые системы). Поэтому можно предвидеть, что теория, обсуждаемая в этой монографии, будет развита для существенно более общих, с математической точки зрения (в частности, некоммутативных), ситуаций. Я надеюсь, что этот текст послужит толчком к созданию более общих теорий и к прояснению концептуальной структуры существующего формализма.
Давид Рюэль
Глава О Введение
0.1. Общие сведения
Формализм равновесной статистической механики — в дальнейшем мы будем называть его термодинамическим формализмом — развивается с тех пор, как Гиббс описал свойства некоторого класса физических систем. Эти системы состояли из большего числа элементов (приблизительно IO27), подобных молекулам одного литра газа или воды. Хотя физическое обоснование термодинамического формализма остается пока недостаточным, этот формализм оказался чрезвычайно полезным при объяснении различных физических явлений.
Совсем недавно стало понятно, что термодинамический формализм скрывает очень интересные математические структуры: он натолкнул на прекрасные теоремы и в некоторой степени и на их доказательства. Помимо статистической механики термодинамический формализм и его математические методы теперь интенсивно используются в конструктивной квантовой теории поля1 и при изучении некоторых дифференцируемых динамических систем (среди последних наиболее известны диффеоморфизмы и потоки Аносова). В обоих случаях это применение происходит на довольно абстрактном математическом уровне и, на первый взгляд, совсем не очевидно. Понятно, что изучение окружающего мира — мощный источник вдохновения для математики. То, что это вдохновение может действовать таким образом, является более нетривиальным фактом, который читатель может интерпретировать в соответствии со своими взглядами.
Основной физической проблемой, которую равновесная статистическая механика пытается объяснить, является проблема фазовых переходов. Почему, когда понижают температуру воды, ее свойства изменяются сначала достаточно гладко, а затем, при достижении точки замерзания, ситуация внезапно меняется? Хотя имеются некоторые общие соображения об этом и получено много специальных результатов, концептуальное понимание пока
1Cm., например, Вило и Вайтман [1].
0.1. Общие сведения
19
достаточно противоречиво2. Математическое исследование термодинамического формализма на самом деле еще не закончено; эта теория является достаточно молодой, до сих пор в ней больше уделяется внимания новым идеям, чем технически сложным задачам. Данная ситуация напоминает до-классические произведения искусства, в которых вдохновение не сдерживалось необходимостью следовать стандартным техническим формам. Мы надеемся, что в какой-то степени новизна предмета присутствует и в предлагаемой монографии.
Физические системы, к которым применяется термодинамический формализм, всегда представляются бесконечными (например Riy, где при v = 3 мы имеем обычный окружающий нас мир). Такая идеализация необходима, так как только бесконечные системы допускают четко выраженный фазовый переход. Большая часть термодинамического формализма связана с изучением состояний бесконечных систем.
Для классических систем состояния являются вероятностными мерами на подходящем пространстве бесконечных конфигураций; такие состояния еще могут быть рассмотрены как линейные функционалы на абелевых алгебрах (например на алгебре непрерывных функций в случае радоновых мер). Для квантовых систем состояниями являются линейные функционалы на неабелевых алгебрах. Благодаря своей простоте, классические системы оказались изученными намного больше, чем квантовые. На самом деле, основное внимание сконцентрировалось на простейших системах, так называемых классических решетчатых системах, где пространство Riy заменено на ТҐ (^-мерная кристаллическая решетка). Для таких систем пространством конфигураций является подмножество Q множества П Q1 (где Qj.,
например, — множество возможных значений спина или «числа заполнения» на узле решетки х). Мы будем предполагать, что множество 0,х конечно. Благодаря групповой инвариантности (относительно ТҐ или Riy) изучение состояний бесконечных систем тесно связано с эргодической теорией. Однако существуют разделы термодинамического формализма, относящиеся к совершенно другим вопросам (например к проблемам аналитичности).
Предлагаемая монография предназначена, в первую очередь, математикам. Ее цель — дать представление о термодинамическом формализме, соответствующих структурах и методах. Мы ограничимся только класси-
2Ha феноменологическом уровне значительно больше известно о фазовых переходах, основное внимание было уделено критическим точкам и «критическим явлениям»; последние, однако, на данный момент не поддаются строгому изучению.
20
Глава 0
ческими решетчатыми системами несмотря на то, что термодинамический формализм обобщен на разные классы систем. Это связано, в первую очередь, с тем, что теория, имеющаяся на данный момент для таких систем, не завершена, более специфична и сопряжена с техническими трудностями. Формализм, который мы опишем, не будет напрямую применяться к задачам конструктивной квантовой теории поля, но с его помощью будут исследованы диффеоморфизмы Аносова и связанные с ними динамические системы.
