Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
6.7. Другие определения давлення 137
В силу первого из неравенств (6.9) P (А, 21) < оо. Используя (6.7) и второе из неравенств (6.9), мы можем сравнить Z\(A, 21) со статистической
суммой для объединения непересекающихся сдвигов множества Л(а), содержащихся в Л. Это приводит к соотношению
Iimsup -у- log Za(A, 21) = P{А, 21). (6.10)
Ау'оо |Л|
Предполагая 21 конечным открытым покрытием пространства Г2, можно доказать, что существует предел
Iim P(А, 21) = P(A) = Pr(A), (6.11)
diam 21—»0
который конечен или равен +оо. [Cm. Боуэн [6], предложение 2.8. Идея состоит в том, что если S — открытое покрытие и каждый его элемент fBj содержится в некотором 21 *, то P(А, 21) ^ P(А, ®) + <5, где <5 — максимум колебания функции А на множестве 21*, т. е. <5 = maxsup{|A(^) —
г
-A(I1)|: ?, rj Є 21*}. Это, в частности, верно, если diam® является числом Лебега для 21.] Предел P(A), определенный в (6.11), называется (топологическим) давлением функции А Є Чо.
Если имеется последовательность (или сеть) открытых покрытий 21 и для каждого 21 существует такое непустое конечное множество Л Є 7/У, что diam2lA —> 0, то P(А, 21) —> P(A). (Доказательство похоже на доказательство равенства (6.11): если diam ®Л служит числом Лебега для 21, то
ZA(a)(A, 21) < ZMa)+A(A, S)ехр[|Л(а)|<5 + (|Л(а) + Л - |Л(а)|)||А||]
и, следовательно, Р(А, 21) ^ Р(А, S) + 8.) В частности, если т разделяет траектории и diam 21 — разделяющая константа, то Р(А, 21) = P(A).
6.7. Другие определения давления
Пусть снова А Є и 21 — конечное открытое покрытие пространства Г2. Определим новую статистическую сумму:
(Sj ) — подпокрытие покрытия 21Л
Тогда
138 Глава 6
где 5 — максимум колебаний функции А на множествах из 21Л. Нетрудно проверить, что
P(A) = Iim Iim sup -у- log (A1 21) =
diamSl^O л/оо |Л|
а А/*со |Л|
= sup Iim sup — log Z\ ’ (A1 21).
В этой формуле можно заменить Л на А(а) иЛ / оо — на в ^ оо. Кроме того,
P(A) = Iim Iiminf —\og Z^K (A1 21).
V ’ diamа—>оо а^оо \А(а)\ & ’
Пусть S — конечное подмножество пространства Г2. Будем говорить, что S является (Л, е)-разделенным, если ?, г/ ?- S и ? ^ г/ влечет
d(rx$,, тхг)) > є при некотором х Є А.
Будем называть множество S (Л, є)-плотньім, если для любого г) Є Г2 существует такое ? Є ?, что
d(rx$,, тх7]) ^ є при всех х Є А.
Теперь можно определить статистические суммы Zi^(A1E) =sup|y ехр А(тх?) : S является (Л, е)-разделенным|,
ZeS хЄА
7(3)
V^-L, О) —
?es XGA
Очевидно, при і = 2, З
Z^(A1S)= inf{y ехр А(тх?) : S является (Л, є)-плотньім j.
Iim sup — log Zfj (A1 є)
Л/оо |Л|
возрастает при убывании є. Доказывается (Уолтерс [1], § 1), что
P(A) = Iim Iim sup -у- log (А, є) = Iim Iim sup } log ZУ , (А, є)
є^о л/оо |Л| є->о ^00 \А(а)\ J w
(см. упражнение 2). Кроме того,
P(A) = Iimliminf —log ZjjJaj(A1 є).
є^О а—>оо |Л(а)| 4'
6.8. Свойства давления
139
Если т разделяет траектории, то нет необходимости полагать diam 21^0 или є —> 0 в формуле для давления (в этом и предыдущем параграфах), достаточно взять (Iiiiiii'21 или є равным разделяющей константе. В частности,
P(A)= Iim -І-log Zaw(A1SI) =
OO |Л(а)|
Iim ___I____W
а—* оо
= 1іт 1о«2д’м(-4' є>' • = 2'3-
¦ (г)
а—у оо
Таким образом, определение давления, данное в теореме 3.4, является специальным случаем приведенного здесь.
6.8. Свойства давления
Имеет место альтернатива: либо P(A) = +оо для всех А Є Ч>, либо P(A) конечно для всех А Є Ч>. В последнем случае функция P выпукла и не убывает (т. е.А^В влечет P(A) ^ P(B)); кроме того, она непрерывна:
|Р(А) -P(B)KIIA -В\\
и обладает следующими свойствами:
Р(А +В отх - В+ t) = P(A)+t (і є R), Р(А + В) < P(A)+P(B), Р(А)| < Р(|А|).
(Простые доказательства имеются в статье Уолтерс [1], теорема 2.1.)
6.9. Действие та
Для любых целых а\, ..., av > О положим ах = (а\Х\, ..., (IltXl,). Ж"-действие Ta определяется равенством (та)х = тах. Нетрудно проверить, что
Ьт(а,Щ = -^—кт4ст,^аУ), (6.12)
|Л(а)|
Pr (А, SI) = -ту-:PrA V Aot11SIaW) (6.13)
(Боуэн [6], лемма 2.9).
140
Глава 6
6.10. Лемма
Пусть S — конечное открытое покрытие пространства Cl и Л — конечное подмножество решетки ТУ. Тогда существует такое борелевское разбиение ®л пространства Cl, что
(a) каждый элемент разбиения Sл содержится в некотором элементе покрытия ®л;
(b) каждая точка ? Є fi принадлежит замыканию не более чем Л| • |®| элементов ®л-
[Cm. Боуэн [6], лемма 2.12. Идея состоит в следующем. Разбиение единицы, подчиненное S, порождает отображение а: Cl Д, где Д —
(|® — 1)-мерный симплекс. Пусть /3 = (а о тх)х&\: Cl ДЛ; тогда в
качестве ®л можно выбрать прообраз при отображении [3 подходящего разбиения (I®I • |Л| — |Л|)-мерного множества Aa.]
6.11. Лемма
Если '21 — борелевское разбиение пространства Cl и каждая точка ? Є Cl содержится в замыкании не более чем M элементов разбиения 21, то
h(a, 21) + а(А) < P(A) + log М. (6.14)
[Cm. Боуэн [6], лемма 2.11. Пусть 2lf (і = I, 2, . . .) — непустые эле-
