Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(Для ТОГО чтобы определить сумму (L*, (fl*)X?L* , (Од)лє^* ), используйте произвольную идентификацию счетных бесконечных множеств LnL' и положите L* = L = L', fl* = flx (JfiJc. Возьмите {fl^Ae^* такие, чтобы ? Є fl* тогда и только тогда, когда ? Є fl и ? Є fl'. Для того чтобы определить произведение, положите L** = HJZ/.)
Глава З
Трансляционная инвариантность. Теория равновесных состояний
Предположив трансляционную инвариантность, мы построим в этой главе теорию равновесных состояний и давления, а также получим общие результаты, касающиеся фазовых переходов.
3.1. Трансляционная инвариантность
Теория гиббсовских состояний получает очень интересное развитие в случае, когда предполагается инвариантность относительно «достаточно большой» группы симметрии G. В качестве G мы возьмем группу Ж",
V ^ 1, но заметим, что и другие группы могут представлять интерес1. В данной главе мы не будем рассматривать гиббсовских состояний, а вместо этого изложим теорию равновесных состояний. Связь между гиббсовскими и равновесными состояниями будет обсуждаться в главе 4.
Пусть L = Zix и группа G = Uj действует на L посредством сдвигов:
(а, х) а + х.
Для любого х Є rLv положим Clx = Cl0 так, что ILez- Пх = (?)2"- Для любого ScL определим отображение т° : ELgs ^x ELgS-O ^x равенством
СTaOx = 6г+о-
В этой главе мы не будем вводить семейство (Сіа)лє^ из главы 1, а просто предположим, что Cl С YlxeZ1' ^x и С Пжєл ^x (для конечных Л С Ziy) удовлетворяют условиям:
(a) Qa-O = таС1л;
(b) Сім |Л С Cl а, если Ac М;
(c) Cl ф 0 и ? Є Cl тогда и только тогда, когда ?|Л Є С1\ для всех Л.
В части, касающейся Cl, эти условия сводятся к предположению, что Cl — произвольное непустое замкнутое т-инвариантное подмножество пространства п xei„ Clx.2
1Cm., например, иерархическую модель Дайсона [1].
2JIerKO понять, что семейство множеств Од не определяется однозначно множеством Q. — Прим. ред.
56
Глава З
Пусть a a, a am, и Ч?а определены так же, как в главе 1. Заметим, что т°, а Є G, является гомеоморфизмом компактного множества Cl и что отображение Ao та определяет автоморфизм алгебры '/Д являющийся изометрией И переводящий Ч>А В ЧоА+а-
Взаимодействие Ф будем называть инвариантным, если
при всех а Є 7Lv, ? Є CIa и конечных Л С 7Lv. Такие взаимодействия образуют банахово пространство sd относительно нормы
В дальнейшем мы будем использовать всюду плотное линейное пространство sd0 С sd, состоящее из всех взаимодействий конечного радиуса', по определению, Ф — взаимодействие конечного радиуса, если существует такое конечное множество А, что Ф(?|Х) может быть отлично от нуля лишь в случае, когда X — х С А при всех х Є X.
В описанной модели множество L = TLIj можно интерпретировать как //-мерную кристаллическую решетку. Тогда групповая инвариантность — это инвариантность относительно сдвигов решетки.
Каждому взаимодействию Ф Є si поставим в соответствие некоторую непрерывную функцию Аф на пространстве Cl так, чтобы величину , Ц, ('() можно было интерпретировать как вклад одного узла решетки (скажем, узла 0) в энергию конфигурации ?. Это можно сделать, положив
Возможны, однако, и другие определения с той же физической интерпретацией и с тем же значением сг(Аф) для любого инвариантного состояния сг (см. ниже § 3.5). Так, мы могли бы положить
Ф(г“0 = Ф(0
(3.1)
(3.2)
3.2. Функция Аф
лФ(о = -?щф(да-
Хэо I
(3.3)
3.3. Статистические суммы
57
где сумма Y* берется по всем тем X, которые, будучи лексикографически упорядочены, имеют 0 своим первым элементом (или последним элементом). Лексикографическим здесь является любой полный порядок на множестве Ziy, согласованный со сдвигами. Мы могли бы также определить Аф равенством (3.3), где суммирование ведется по всем X, для которых 0 служит [(|Х| + 1)/2]-м3 (т. е. «средним») элементом множества X при лексикографическом упорядочении. Мы будем использовать это последнее определение. Его достоинство состоит в том, что
Чтобы убедиться в представимости каждой функции А Є cSa в виде Аф при подходящем Ф Є si о, подберем такое X D Л, в котором 0 является [(|Х| + + 1)/2]-м элементом (в лексикографическом порядке). Положим Ф(?|Х) = = —А(?) и Ф(?|У) = 0, если У не получено сдвигом из X. Тогда |Ф| = = 11A11 и А = Аф. Для любой функции А Є cS имеет место разложение А = YjnAn, где An Є ^лг, и Yn I |Л» I < °°- Следовательно, если Ф„ выбрано указанным выше способом, мы получим равенство А = Аф с
Таким образом, мы имеем линейное отображение Ф н-> Аф пространства si
Л — конечное
Более точно,
IА|I = inf{ ФI: А = Аф}.
(3.4)
на Ч>.
3.3. Статистические суммы4
Для любого конечного S С Ziy положим
Щ = Ц, (ЗГ є ПК = Г IS}.
3[(|Х| + 1)/2] обозначает целую часть числа (|Х| + 1)/2.
4B оригинале — «partition functions»; при переводе этого термина мы следуем давно ело-жившейся и вполне оправданной традиции. — Прим. ред.
58
Глава З
Для конечного Л и для введем статистические суммы
2I= Y exPht7A (0]. Zf = Y еМ~иЇШ
