Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ?' Є Cl', ? = Fgi' Є Cl, и пусть Л, Л' — конечные подмножества L, L' соответственно. Положим
а = Є|Л, Іь\А = І\(Ь\К), &,\Л'=ДО'\Л').
48 Глава 2
В силу (М4) для данного Л и достаточно большого к! существует такая биекция / множества
А = {г]А є flA: Va V Сідл определено}
на множество
Wa, Є П'А,: rfA, V ?'l>\Л' определено и F(rjA, V ^vv) I Ol \ Л) = ?ь\л},
ЧТО
F(Hva) V й'\Л') = VA V Сь\л- (2.3)
Обозначим через P условную вероятность относительно меры a'(drf) того, что (Frf)\K = ?Л при T]'\(L'\M) = ^'Ь,\А, и (Frf)\(L\A) = ?L\A. Так как а' — гиббсовское состояние, то мы имеем
E и(АUva}
ПаЄА ь \л
_ ехр(-^(Ял) - WA,tL,\A,((fU)Vt'L'\A'))
E exp(-UA'(fr)A) - WA,jL,\A,((fr]A) V^1W1))1
іїлЄ-4
Используя (2.2) и (2.3), получим
п ехр(-Ф(^Л У Іь\а\Х))
X: U{M(rr:):rr:G^:}nAV0 Р E П ехр(-Ф(7/л V?L\a|X))‘
ПаЄАХ: и{М(х):хЄХ}(-]А'ф0
Множители с X Р| Л = 0 одинаковы в числителе и знаменателе. Поэтому
ехр(- E ф(6\ V ?l\a\X))
V X:Xf]A^0 7 ф !
Р ~ / \ “ ^(Л)Єь\л^Л^
E ехр(- E 4vavCl\a\x))
ПаЄПа 4 X : ХР\Аф0 '
Это выражение не зависит от ?'Li\A,, и, следовательно, условная вероятность относительно меры crr(drf) того, что (Frf) |Л = ^a при (Frf)\(L\A) = ?l\a,
2.6. Замечание
49
равна Л{?л}- Последнее утверждение эквивалентно тому, что услов-
ная вероятность г)\А = S1A при условии t]\(L\A) = Sl\a относительно меры (Fcr')(dr]) совпадает с M(^)Jiaa{?л}- Таким образом, Fa' — гиббсовское состояние для взаимодействия Ф.
2.6. Замечание
Если FoF' — морфизм, полученный при помощи композиции двух морфизмов F и F1, то нетрудно проверить, что (см. упражнение 1)
(FoF')* = F'* F*, (2.4)
когда FoF' определяется при помощи допустимого семейства (Fx)xe^.
В случае, когда I — тождественный изоморфизм системы (L, (Slx)xfJj,
(?іа)ає&), из леммы 2.4 следует, что взаимодействия Ф и Г*Ф определяют
одни и те же условные вероятности:
= (2-5)
и, следовательно, имеют одинаковые гиббсовские состояния.
Если F: ft' н-> ft — изоморфизм, то F является биекцией множества гиббсовских состояний для взаимодействия ^*Ф на ft' в множество гиббсовских состояний для Ф на пространстве ft. Это вытекает из предложения 2.5 и из (2.4), (2.5).
2.7. Системы условных вероятностей
Для каждого конечного множества Л С L положим П1\А = {?: (?* eft)S = C\(L\A)}.
Это множество замкнуто в QL A (см. параграф 1.5). Условные вероятности /1(Л)?ь\Л{?л} для всех допустимых взаимодействий Ф (т.е. ||Ф||Ж < оо при всех х — см. параграф 1.2) удовлетворяют следующим условиям.
(а) Если ІЬ\А е 11 ?л Є it а, то М(л)сьи{?л} > 0 и
^ ^(л)Сь\л{т?л1 = !Фоме того, М(Л)?мл{б\} > 0 тогда и только
тогда, когда Sa V Sl\a Є ft.
50 Глава 2
(b) Если ?л Є Пл, w0 действительная функция S,l\a M(A)JiaaUaI на множестве Cl*L^A является непрерывной.
(c) Пусть Л С М, ?л Є Пл, ?м\л Є ClM\A, ?l\m ^ ClL\M и Ca V ?м\л V ?l\m Є Cl. Тогда
M(A)JmxaVJiamUa) X A^M)jbXM{^ V ?М\а} = M(M)JiamUa V ?М\Л}.
г)Є&а
Утверждения (а) и (Ь) вытекают из параграфа 1.5, а утверждение (с) — из интерпретации чисел A1(A)JiaaUaI как условных вероятностей и может быть проверено прямым вычислением.
Семейство (A4(A)Jiaa)j удовлетворяющее (а), (Ь), (с), будем называть системой условных вероятностей. Основная часть теории, изложенная до сих пор на языке взаимодействий, при помощи простых модификаций может быть объяснена на языке систем условных вероятностей.
Определение гиббсовского состояния (см. параграф 1.5) менять не будем. Покажем, что любой термодинамический предел A1(A)Jiaa (с ?l\a Є П?\л) является гиббсовским состоянием. Пусть AcMcNcL. Условная вероятность относительно меры cxmjvA1(N)Jbxjv того, что 7]\А = ?л при условии г/1 (Al \ Л) = ?м\л> равна
р ^MJVM(JV)JiajvUa V ?м\л}
aJVJJVM(JV)Jbxjv{^л V ?м\л}
ІЇАЄПА
S M(JV)Jbxjv {Ca V ?jv/\a V ?7дг\м}
Vn\m
M(JV)Jbxjv Ua v ?м\Л V T)n\m}
VA VN\M
Если это выражение не имеет смысла, то мы можем определить его произвольным образом. Используя условие (с), получим, что
Р= E А*((ЛГ\М) (JA)JmxaVJbxjvUa Vr?AT\M} =
VN\M
'У ^ Ai(A)^Af\лV^jv\mV^i,\jv {^а} ^
VN\M
X M((JV\M) U A) Jmxa Vjbxjv {»7A V r/jvXJV/}-
VA
2.8. Свойства гиббсовских мер
51
Таким образом, в силу (а) величина P является усреднением по t]n\m с некоторыми весами величины
1Ы-
В силу условия непрерывности (Ь) вариация этой величины относительно Vn\m V ?,l\n стремится равномерно к нулю при M —> оо.
Отсюда следует, ЧТО термодинамический предел (l^ (A)Tj ьуА) является гиббсовским состоянием.
2.8. Свойства гиббсовских мер
Доказательства результатов главы 1, начиная с теоремы 1.8, применимы после очевидных изменений в рассматриваемой ситуации. Более точно, теорема 1.8 и утверждения (Ь), (с), (d) теоремы 1.9 верны для систем условных вероятностей. Кроме того, характеристика чистых гиббсовских состояний (теорема 1.11) и условия их единственности (теорема 1.13 и замечание 1.14) также остаются справедливыми.
Пусть морфизм F определен точно так же, как и в параграфе 2.1, и (/i(л)?ь\Л) — система условных вероятностей для тройки (L, (Ctx)xeL, (CIa) Ae^)- Введем теперь систему (F*) для
