Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
= ПXSL ст({ж})-
2. Показать, что множество термодинамических пределов (M(A)^iaa) — см. теорему 1.9(b) — является замкнутым и содержит все крайние точки множества Кф. (Второе утверждение, впервые доказанное Георгия [2], легко получается из теоремы Мильмана: см. приложение А.3.5.)
3. Два различных неразложимых гиббсовских состояния являются не-пересекающимися (т. е. сингулярными) мерами на О (см. приложение А.5.5).
4. Пусть Ф, Ф — два взаимодействия и а Є Кф.
(a) Для каждого конечного ЛсІи^Є Од определим
М(Л)Ш = Z^expi-uno) ¦ (ала)Ш,
Z* = (аЛо')(ехр(—[/д')).
Доказать, что любой термодинамический предел ) принадлежит множеству КФ+ъ.
(b) Используя (а), показать, что при A — /. любой предел
Z*~x ехр(—[/д (С|Л)) • <r(d()
принадлежит множеству Кф+ф.
(c) Найти аналогии (а) и (Ь) в случае, когда U\ заменен на U\+Wa, l\а-(Предостережение: знаменатель Z* должен быть отличен от нуля.)
Глава 2
Гиббсовские состояния: продолжение
В этой главе мы изучаем, как преобразуются взаимодействия и гиббсовские состояния относительно различных отображений.
2.1. Морфизмы решетчатых систем
Тройку (L, (Clx)xeL, (^л)лє^)> введенную в главе 1, будем называть решетчатой системой. Каждой такой решетчатой системе мы сопоставим конфигурационное пространство Cl, определенное в параграфе 1.1. Обозначим через Cl' конфигурационное пространство, соответствующее решетчатой системе (L', (СІгх,)хіеь', (^Л')л'є^')- Предположим теперь, что семейство (Fx)xeL обладает следующими свойствами.
(Ml) Fx является отображением CI1m^ і—> Clx, где М(х) — конечное подмножество L1.
(М2) Семейство (М(х))х^ь локально конечно (т. е. множество {ж: ж' Є M(ж)} конечно при любом х' Є L').
(М3) Если І' Є Q[j{м(ж)-жєх}’ то (Рх(І'\М(х)))хех является элементом Fxi' пространства Clx как только XcL.
Условие (М3) достаточно проверить только для XgS.
Определим непрерывное отображение F: Cl' >—> Cl, положив
(Fi')x = Fx(i'\M(x)).
Пусть множество С Cl состоит из тех г/, для которых г]х = Іх за исключением конечного числа х Є L. Определим аналогичным образом множество С Cl. Тогда F отображает множество в Мы бу-
дем говорить, что F является морфизмом из (Lr, (CI1x1)xIqL', (^л')л'є^') в (L, (Clx)xeL, (^л)лє^)> если оно удовлетворяет следующему условию:
(М4) Ограничение F на множество является биекцией на при каждом І' Є Cl'.
46
Глава 2
Заметим, что различные семейства (Fx)xel могут определять одно и то же отображение F и, следовательно, один и тот же морфизм. Легко проверить, что тождественное преобразование пространства О является морфизмом (тождественным морфизмом) и что композиция двух морфизмов дает снова морфизм (см. упражнение 1). Предположим, что F' — морфизм из (L, (Qx)xeb, (Мл)ле&) в (L', (О'х,)Х'еи, (^л')л'є^) и что FF' и F'F — тождественные преобразования соответственно на О и O'. В этом случае F будем называть изоморфизмом.
2.2. Пример
Предположим, что дана решетчатая система (L' ,(0,'х,)хіеь', (^Л' )л' є^') ¦ Пусть — (M(x))x^L разбиение L1 на конечные подмножества. Положим = Q'M(X) и будем считать отображение Fx : м ^ тождествен-
ным. Выбрав множество Л ? f, для которого существует такое множество Л' Є , что A1 Pl M (ж) ф 0 при всех ж Є Л, мы можем определить множество 0Л = {(?'1 М(х))хЄа: Є Oru{М(ж).жєЛ}}- Очевидно, се-
мейство (Fx)xeL определяет морфизм F из (L', (О'х,)хі^ь', (^Л')л'є^') в (L, (ЄІХ)Х?Ь, (^л)лє^), который, на самом деле, является изоморфизмом.
2.3. Взаимодействие F* Ф
Пусть Ф — морфизм, определенный семейством (Fx)xeL (см. параграф 2.1). Взяв взаимодействие Ф для (L, (Ож)жЄ^, (Од)лє^); мы введем взаимодействие і^*Ф для (L', (О'х,)Х'^ь', (^л)л'є^')> положив
(F*Ф)(0 = Yl ф(РхО, если Г Є Mx,.
X-. U{М(х)-.хеХ} = Х'
В силу условия (М2) эта сумма конечна. Кроме того, используя (М3), получим
н^*Ф||ж, = Y suP \(р*ш')\ <
Х'Эх'?'еп'х'
< Y suP 1ф(^01= Y suP 1ф(-^ок
х'Эа' ї'єПх' X: и{М(х)-.хеХ}Эх'?'еП'х'
X : и{М(т):т?Х}=Х/
< Y suP іф(оі < E \\ф\и-
X: ХГ\{х: х'ЄМ(х)}ф0^?Пя' х:х'?М(х)
2.4. Лемма 47
Заметим, что F*Ф зависит от семейства (Fx)xe^, которое определяет морфизм F.
2.4. Лемма
Условные вероятности pfA,%> {?л'1 зависят только от морфиз-
ма F и, следовательно, не зависят от семейства (Fx)xeL, его определяющего.
По определению
*,.ф = ехр(-^Л'($Л') - WA.,L.\A.(?A, V ^a,))
^(A Л' exp(-LrA'(r?A') “ Wa',L'\A'(t?A' V ?l'\A'))’
V1aiZWa,
(2.1)
где U, W вычислены для взаимодействия Р*Ф. В этом случае
exp(-UA>(rjA,) - WA,?L,\A,(riA, \/S'L>\а,)) =
= ехр(- 5] 5] ЧРХ(ЫА- V&,\A,)I*'))) =
Jf': X1 Pl А'ф0 X : U{М(х):хЄХ}=Х’
= ехр(- J2 Ф(РЫа> Уй'\А')\Х)) =
X: и{М(х):хЄХ}(~}А'ф0
П еМ~ф(Р(гіА'V й>\А')\Х))- (2-2)
X: и{М(і):хЄХ}Г|Л'^0
Другой выбор семейства (Fx)xe^ дал бы то же самое выражение, за исключением изменений в множествах М(х). Однако выражение (2.1) останется тем же благодаря сокращениям в числителе и знаменателе.
2.5. Предложение
Если а' — гиббсовское состояние на Cl' для взаимодействия F* Ф, то Fa' — гиббсовское состояние на пространстве Cl для взаимодействия Ф.
