Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
(почти всюду относительно меры (аь\А&)(dr/)), когда элементы ^a V г?, Va V г? определены. Последнее эквивалентно принадлежности B00 замыканию множества IJ It(cSm) при любом Л и, следовательно, тому, что
МСЬ\А
B00 Є Sfia. Таким образом, неэкстремальность точки а эквивалентна существованию нетривиальной функции B00 Є SSa.
1.12. Операторы <%Л
Для данного конечного Ac L определим линейное отображение &А: cS cS, положив
(&aA)(S,a Vr?) = Y М(Л)г,{^л}Жг?л Vr?) (1.25)
г]АЄІІА
для всех V г? Є Cl с Є CIa, г? Є CIl\a-
Очевидно, ЦЙЙл^Н ^ ЦАЦ и существует такая функция В на CIlдд, что (ййл^4)(^л Vr?) = В (rj). Таким образом, если <т является гиббсовским состоянием, то равенство (1.22) позволяет получить следующий результат
= Y /ff(i\A)4AW%Vr?)=^). (1.26)
Ї? Л Є ^ Л
(Обратно, если состояние а обладает тем свойством, что сг(ЙЙлА) = сг(А) при любом Kvi А, то а является гиббсовским состоянием.)
Предположим, что при каждом А в топологии пространства cS элемент &а(А) сходится к постоянной с при Л —> L (т. е. для данного є > О
42 Глава I
существует конечное множество Д, для которого ISR-^(A) — cII < ^ при Л D Д). Пусть а, а' Є Кф. Тогда в силу предположения имеем
сг(А) = ^lim сг(8#л(А)) = jini^ сг'(ё#,л(А)) = сг’(А)
и, следовательно, множество Кф состоит из единственной точки.
Предположим теперь, ЧТО ЙЙл(А) не стремится к постоянному пределу. Мы можем считать, что A = B о ад Є cSa при некотором Л. Тогда найдутся последовательности (Mn), (Mrn) и Г2 такие, что Mn L, M1n L
и
Iim (Зйм„04))(6г) ^ Hm (ЙЙМ;, (А))(С)-
Ti—^OO Tl—^oo
Ho это означает следующее:
Iim /I(M)ri(BoaAMn)^= Iim №м'У (В°адм;),
Tl—СЮ 4 7 Tl—^СЮ 4 Г7/ /Tl Tl
где r?„ = ?,n\(L \ Mn), г]п = ?,n\(L \ M1n). Поэтому множество Кф состоит более чем из одной точки.
1.13. Теорема (критерий единственности гиббсовского
состояния)
Пусть а Є Кф: тогда справедливы следующие импликации (А') <=>
^ (во => (со. '
(АО Кф = {а}.
(ВО При любом А Є Ч> последовательность 9},аА сходится в пространстве Чо к постоянной при А => L.
(CO При любом А Є Ч? существует такое конечное множество Ac L,
что
(О 4>м, MnA = 0) =>• сг(АВ) — а(А)а(В) ^ сг(В).
Кроме того, (CO =>• (ВО, если supper = О.
Заметим, что условие (CO является более сильным кластерным свойством, чем условие (С) параграфа 1.10.
В параграфе 1.12 мы показали, что (АО (ВО- Пусть справедливо условие (ВО- Тогда для данной функции А мы можем выбрать такое конечное множество Л, что
\91aA - <т(А) I < 1.
1.14. Замечание
43
Отсюда следует, что если В Є Чом, Mf] A = 0, то
сг(АВ) = о(3$.а(АВ)) = o((S/?,aA) ¦ В);
и если B^ 0, то
Iа(АВ) - ст(А)ст(В)I = \ст((ЯаА - ст(А))В)| < о(В).
Поэтому (B') => (С').
Докажем теперь включение (C') =>• (В'), если supp a = Q,. Предположим, что условие (Br) не выполняется. Тогда существуют функция А и последовательности (Л„), (Sn) такие, что An —> Lu (3&-а„А)(?п) —> с ф <т(А). Изменив, если надо, А, мы можем считать, что с — <т(А) = 4. В силу непрерывности Sff, аА мы можем найти множество Mn, для которого Mn |"| An = = 0 и (S$-K„A)(rj) - (Sf-ArlA)(Sn) < 1, если 771Mn = Sn\Mn. Пусть Bn -характеристическая функция множества {г/ Є Q: т)\Mn = Sn\Mn}, тогда при достаточно большом п имеем
(3%а„А)(т)) > а(А) + 2, если Bn(vi) ф 0.
Поэтому
<т(АВп) = o(S#,a„ (ABn)) = <т((?%а„А) ¦ Bn) > (о(А) + 2)о(Вп); и, следовательно,
W(ABn) - о(А)о(Вп)\ > 2ст(Вп).
Ho это противоречит условию (C'), потому что о(Bn) > 0 в силу нашего предположения supp O = Q.
1.14. Замечание
Предположим, что пространство Q обладает следующим свойством. (D*) Для любых S, rj Є Q и конечного Ac L существуют конечное множество M С L и Ct Є Q такие, что
С|Л = ?|Л, ci(?\M) = TjKi \м)
(другими словами, при любом г/ Є Q множество = {( Є Q: 3 конечное множество М, для которого (\(L \ М) = r/\(L\ М)} всюду плотно в Q.)
В этом случае каждое гиббсовское состояние о имеет полный носитель, т. е. supper = Q (это прямо следует из определения (1.14) гиббсовского состояния). Таким образом, если выполнено (D*), то условия (A'), (В'), (Cr) теоремы 1.13 эквивалентны.
44
Глава I
Библиографические указания
Понятие гиббсовского состояния было введено Добрушиным [1, 2, 3] (и затем переоткрыто Лэнфордом и Рюэлем [1]). Гиббсовские состояния были определены Добрушиным как вероятностные меры, условные вероятности которых даны заранее (см. теорему 1.8). Точно также можно сказать, что они являются вероятностными мерами, удовлетворяющими определенному множеству уравнений (см. (1.14)), иногда называемых ДРЛ уравнениями. В этой главе мы в основном следовали Добрушину, излагая его теорию в более современном виде. Сделаны некоторые дополнения: например, доказано симплектическое свойство, введено понятие алгебры на бесконечности (Лэнфорд и Рюэль [1]), определены операторы ййд (Ледраппье [1]).
Упражнения
1. Если О = (в этом случае множество пусто) и Ф|Пд =
= 0 при |Л| > 1, то существует единственное гиббсовское состояние: <т =
