Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
1.9. Теорема
Пусть Ф — взаимодействие и вероятностные меры цщ и (гиббсовский ансамбль и гиббсовский ансамбль с граничными условиями) определены равенствами (1.11) и (1.14), где і] Є ?Il\a является ограничением на множество L\ Л некоторого элемента гf, который может зависеть от Л. Предположим, что термодинамические пределы определены точно так же, как в утверждении предложения 1.4. Тогда
(a) Любой термодинамический предел (рщ) является гиббсовским состоянием.
(b) Любой термодинамический предел [р(л)г)Ь\А) является гиббсовским состоянием.
(c) Замкнутая выпуклая оболочка гиббсовских состояний, полученных в (Ь), совпадает со множеством Кф всех гиббсовских состояний.
(d) Кф ф 0; множество Кф выпукло, компактно и является симплексом Шоке.
Утверждения (а) и (Ь) были доказаны в параграфах 1.6 и 1.7 соответственно.
В силу (а) множество Кф всех гиббсовских состояний не пусто и, как мы видели после доказательства теоремы 1.8 это множество выпукло и компактно. Следовательно, замыкание выпуклой оболочки множества К гиббсовских состояний, полученных в (Ь), содержится в Кф. Предположим, что К ф Кф. Тогда существует функция Ає?и мера а Є Кф, для которых
а(А) > Inaxp(A). (1-21)
рек
Очевидно, мы можем считать, что A = B о ад, где В Є c^(Qa) при некотором конечном Л. В силу (1.14) мы имеем Р(м)г]{В ° аАм) ^ а{А) при некотором г/ Є &ь\м и ПРИ всех Al D Л. Если р — термодинамический предел (р(м)п)> т0 р{А) ^ а{А) в противоречии с (1.21). Таким образом, мы доказали утверждение (с) и первые две части утверждения (d).
1.10. Алгебра на бесконечности
39
Пусть ?л ? Од для конечного множества AdL. Для любой меры <r(d?) на О обозначим через а(1ДЛ)?Л меРУ на ^l\a> полученную при помощи «обрамления ?|Л = ?,а» (сначала ограничиваем а на множество Є О: ?|Л = = ?л}, затем берем образ ограничения а^\А). Если а является гиббсовским состоянием, то по теореме 1.8 имеем
a(L\A)u(drl) = V(A)V{?A}(TL\A(dr)). (1.22)
Отсюда следует, что
e-uA(iA)-wA, МЛ(€лv^)CT(LVA)r?A (d7?) =
= e-UaM-wa. ^A(nAvn)a{LXA)ijd7]j (і.23)
для всех ?л, Va Є Од. Обратно, если а — вероятностная мера, для которой справедливо равенство (1.23) при всех Л, VA, то имеет место равенство (1.22) и, следовательно, мера а является гиббсовским состоянием. Рассмотрим теперь замкнутое линейное подпространство cS пространства Ч>*, состоящее из действительных мер а, для которых справедливо равенство (1.23) для всех Л, ?л> VA- Очевидно, если а Є fS, то |<т| Є fS. Отсюда следует, что множество Кф является симплексом (см. приложение А.5.5).
1.10. Алгебра на бесконечности
Пусть а — вероятностная мера на Cl. Обозначим через тг(А) класс функций, эквивалентных А, в L°°(Cl, а). Положим
SHa = Pj замыкание^ т\'(??//)), (1-24)
Л конечное С L M конечное СЬ\А
где замыкание берется относительно топологии пространства Loa(Cl, а), как слабо сопряженного к L1 (Cl, ег). Мы будем называть Sfea алгеброй на бесконечности, ассоциированной с <т. Мы охарактеризуем меры ег, которые имеют тривиальную алгебру на бесконечности (т. е. Sfea состоит из почти всюду постоянных функций) при помощи следующего кластерного свойства.
(С) Для любого А Є Чэ существует такое конечное множество Ac L,
что
(В Є ^м, МПА = 0) => \а(АВ) — <т(А)а(В)\ < ||В||.
40 Глава I
Предположим сначала, что условие (С) выполнено. Тогда для любого
А Є Ч> и B00 Є Sfia имеем
ICr(AB00) -O(A)Cr(B00) < WB00W-Заменяя А на XA и переходя к пределу по Л, получим
O(AB00) = O(A)O(B00);
отсюда следует, что B00 является константой, и, таким образом, алгебра тривиальна.
Предположим теперь, что условие (С) не выполнено. Тогда существуют А Є Чо и ВДля каждого конечного Л С L такие, что
Вь\А С и t^M, ||?>?\л|| —
McL\A
\o(ABL\A) -o(A)o(Bl\Л)| > I.
Пусть B00 — слабый предел сети (tt(Bl\A)) в пространстве L°°(О, о). Тогда
B00 Є SSa и
Io(AB00) - O(A)O(B00) ^ 1.
Таким образом, функция B00 не может быть постоянной и, следовательно, алгебра ^cr не является тривиальной.
Теперь мы можем охарактеризовать крайние точки множества Кф гиббсовских состояний (неразложимые гиббсовские состояния).
1.11. Теорема (Характеристика неразложимых гиббсовских состояний)
Пусть о G Кф; тогда следующие условия эквивалентны:
(A) о — крайняя точка множества Кф.
(B) Алгебра на бесконечности Sfia, ассоциированная с о, тривиальна.
(C) При любом А Є Чо существует такое конечное множество AcL,
что
(В є S€м, MnA= 0) => \о(АВ) — о(А)о(В)\ < ||В||.
Мы показали эквивалентность утверждений (В) и (С) в параграфе 1.10. Докажем теперь, что (A) (В).
1.12. Операторы 5? л
41
То, что <т не является крайней точкой множества Кф, эквивалентно существованию функции B00 Є L00(Cl, B00 > 0, отличной от константы, для которой B00G пропорциональна гиббсовскому состоянию. В силу (1.23) это эквивалентно равенству
e-uA(U)-wA, LXA((Avr,)Bqo(71a v n)a{L\A)VA(dTj) =
= e-UAM~wA. ^a(HaVh)Boo^a V ri)<T{L\A)iA(dV)
при любом конечном Л и г?л Є С1\. Ho это означает, что
B00 (?л Vr?) = -800(? V г?)