Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
1.7. Граничные члены 35
Используя определение (1.11), для Л С M имеем
(<*AMМ(м)Жл} = Yh I1(M)Ha V г)} =
??ЄПм\л
{Z^e~UM^} exp(-UA(U) - W7A, м\л(Єл V г,)) =
E
г?ЄПм\л
где
= E ((аМ\Л,ММ(М)){^})^(Л,М)г){Сл}, (1-16)
??ЄПм\л
е-^л(й)-^л. a/\a(^aV?7)
М(Л, М)г;{?л} — ^ e-UA(nA)-WA.M\A(r)AVri)' ^ '
адЄПл
Напомним, что мы придерживаемся соглашений параграфа 1.5 относительно значения V г?. В частности, мы положим выражение (1.17) равным нулю, если числитель обращается в ноль. Теперь исследуем, что получится, когда мы заменим M в (1.16) последовательностью (М'п) из предложения 1.4 и перейдем к пределу по п.
(a) Заметим, что функция на Од л, определенная как
V М(Л, М;)(т)|М'\A){6v},
сходится равномерно к))и /л(л)г?{?л} в силу сходимости сумм, определяющих VFa,l\a(6y Vr]).
(b) Используя утверждение предложения 1.4 для последовательности aMln \Л, M' At(M1n) >мы видим, что она имеет термодинамический предел р/дд, который является вероятностной мерой на Q.l\a-
Из (а), (Ь) и (1.16) получаем, что
^^(“лм^м^Жл} = J Рь\а{іїгі)И(А)п{?,а}-
ПЬ\л
В силу утверждения предложения 1.4 это означает, что р является гиббсовским состоянием.
1.7. Граничные члены
Пусть вероятностная мера на определена для каждого конечного Л С L или для последовательности (Ли) такой, что An —> оо, или для
36
Глава I
подходящей цепи множеств. Предположим, что мера имеет следующий вид:
/і/(Л){Єл} = ^-1е“С/л(Сл)“і5л(Сл), zA= E е-Ua(Va)-В а(г]а)
ЧаЄ^л
Если граничный член Ba ведет себя подходящим образом в термодинамическом пределе, то результаты параграфа 1.6 могут быть продолжены на меры (/4).
Вместо (1.16) мы получим здесь
(алм//(м) Жл} = E Zi(M) {&v v v} =
г?ЄПм\л
= (Z1m-1 B-um^ а(ч)-в'(ч))х
г?ЄПм\л
х ехр(-гУл(?л) - Wa,m\a(?a Vr?) - В"(?л, rj)) (1.18)
при условии Вм (Sa Vr?) = В'(if) + B"(Sa, rj). Аналогично пункту (а) параграфа 1.6 предположим, что функция на С1ь\А определенная соответствием:
г] H-> exp(-Ua(Sa) ~ Wa, м\а(?,а V (aM\A,L\AV)) ~ В” (Sa, «m\a,l\a>]))
(1.19)
стремится равномерно кг)н ехр(—Ua(Sa) — Waj l\a(?,a V г?)); в этом случае аргументация параграфа 1.6 остается справедливой и для рассматриваемой ситуации и, следовательно, термодинамический предел (ц'щ) является гиббсовским состоянием.
Рассмотрим теперь пример. Для каждого конечного AdL будем считать, что является ограничением на L \ А некоторого г)щ Є О. Используя (1.15) определим меру а<(Л) = A4(A)^iaa • Пусть
Ba(Sa) = Wa, l\a(?a V rjL\A).
Если Л С М, Sa С CIa, rj Є С1м\а, т0 в силу (1.8) мы можем написать
Вм(Sa Vr?) = Wm,a\m(S,a V г? V i]L\M) = B'(rj) + B"(Sa< rj),
где
B1(rI) = E V ^l\m\^) = WM\a, l\m(v V Vl\m),
X
B"(Sa, rj) = E ЧІаУ^Мг^Х).
X
1.8. Теорема 37
Сумма ^2* берется по всем таким конечным множествам X с L \ Л, что X Р|(М \ Л) ф 0 и X Р|(? \ М) ф 0, а сумма — по всем конечным множествам XcL, для которых X А ф 0 и X Р|(? \ М) ф 0. Теперь мы должны позаботиться о том факте, что элемент Sa V г/ V не обязательно определен, т. е. может не существовать элемента ( Є Cl с ограничениями т), г]ь\м на CIa, С1м\а, ^ь\м- При фиксированном Л и достаточно большом M это означает, что или V г/, или г/ V Щдм не определено (мы используем здесь тот факт, что множество локально конечно). Положим е-^А- m\a(€aVtj) _ если SaV 7] не определено, е-В ^ = 0, если rI V Щдм не определено, и Ф(^л\/г?\/г?і\м|^) =Ob В", если не определено Ca V г? V щдм- После сделанных замечаний легко проверить, что функция, определенная соответствием (1.19), равномерно сходится к своему пределу г/ н-> ехр(—Ua(^a) — Wa1 ь\л(?л V г?)). Таким образом, термодинамический предел (Р(а)г]Ь\Л) является гиббсовским состоянием.
Сейчас мы получим важнейший результат из приведенных выше рас-суждений. Очевидно,
M(MW{6v V г?} = (^-1е-^АлЫ-в'Ы)х
X ехр(-гУл(?л) - ^л,м\л(^л V Tl) - В"(?л, г/)), (1.20)
где В" равномерно мало при больших М. Согласно определению (1.14) гиббсовское состояние <т обладает тем свойством, что ам& является усреднением по щдм мер Ц{м)пь\м- Таким образом, мы можем оценить условную вероятность относительно <j(di) того, что ?|Л = Sa, когда S\(M \ А) = = г]. В силу (1.20) она равна
(Umct)ISa V Г)} e~UA(?A)-WA. Af\A(6\Vr;)
X) (о:ма-){г?Л V 7?} ^ Q-Ua(Ha)-Wa, м\л{г)аУп) ’
адЄПл Т)ЛЄПЛ
где ошибка равномерно мала при большом M. Отсюда следует, что для гиббсовского состояния ст условная вероятность того, что ?|Л = ^a в случае, когда известно, что S\(L \А) = г/, равна /i(A)r?{6v}- Обратно, если условная вероятность имеет такой вид, то, очевидно, справедливо равенство (1.14).
1.8. Теорема
Вероятностная мера а на Cl является гиббсовским состоянием если и только если для каждого конечного Л С L условная вероятность того,
38
Глава I
что ?|Л = ?л, когда известно, что ?|(? \ Л) = Т), совпадает с /л(л)7){?л}, определенным равенством (1.15).
Заметим, что таким образом мы можем взять стгдл = <у-ь\а^ в (1.14). Из теоремы следует, что слабый предел гиббсовских состояний является гиббсовским состоянием. Таким образом, множество гиббсовских состояний компактно; очевидно, оно также выпукло.
