Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
совершенно очевидно, что эти решения неверно описывают поведение
продольной волны, поскольку заданные момент времени и точка пространства
должны единственным образом определять параметры v, р, р. Дело в том, что
уравнения Эйлера не учитывают наличия вязкости и теплопроводности и
поэтому плохо описывают поведение реальной среды.
Когда профиль волны сильно искажается и становится крутым, эти неучтенные
процессы начинают играть значительную роль. Их влияние сводится к тому,
что вместо неоднозначного "захлеста" в профиле скоростей появится разрыв
(отмеченный на рис. 1.1, в штриховой линией) и профиль станет однозначной
функцией т. Для того чтобы последовательно и строго описать нарастание
крутизны волны, формирование ударного фронта и его структуру, надо решить
систему уравнений Навье - Стокса (В. 1.4) - (В. 1.7). Это проделано в
главе II. А пока что мы ограничимся тем, что определим положение разрыва
простой волны и поведение волны после образования разрыва.
Рассмотрим эту задачу во втором приближении по числу Маха. Предварительно
условимся относительно терминологии. Во всех задачах нелинейной акустики
число Маха М = v!c(i является малым параметром. Значения чисел Маха,
достигаемые в эксперименте, порядка 10~4 -10_2<^1, т. е. нелинейность
является слабой. Поэтому мы часто будем пользоваться разложениями точных
формул в ряд по числу Маха. В тех случаях, когда влиянием конечности
числа Маха при решении задачи пренебрегают, мы будем говорить о решении в
первом приближении.
Обращаясь к (1.3.3), мы видим, что оно соответствует линейному случаю: v
= v0 sin сот. Аналогично, если сохранить линейные по числу Маха члены, мы
получим второе приближение. Формула (1.3.3), например, примет вид
v = r0sinco (т + еМ j . (I-4-1)
32 гл. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
Местонахождение фронта в профиле простой волны однозначно определяется с
помощью первого условия на разрыве (В.2.1), т. е. условия сохранения
плотности потока массы вещества через разрыв:
Pi ("1 - Щ) = Ра ("2 - U<b)- С-4.2)
Здесь Е/ф - скорость распространения фронта. Условие
(1.4.2) записано относительно неподвижной системы координат. Разрешая
(1.4.2) относительно Е/ф, получим выражение
v = Pg" - рпч
W Р2 - Р1
которое позволяет вычислить скорость распространения скачка по заданному
перепаду скоростей. Пусть в общем случае скорость в точке, находящейся
непосредственно перед фронтом, равна vv а скорость в точке, находящейся
непосредственно за фронтом, равна v2. Зная vv v2, но формулам (1.2.12)
находим рх и р2 во втором приближении:
_ А _ I (1.4.4)
ро • • Со
,2
О
Подставляя (1.4.4) в (1.4.3), получим с той же точностью jj (1 +
Мг) М2 - (1 + Mi) Mi___ =
4 1(1 + м,-!^м;)-(1 + *,_1^м;)
= <¦"(1 + . (Т.4.5)
Этот результат позволяет сформулировать наглядное геометрическое правило,
определяющее положение фронта. Обратимся к рис. 1.7.
Пусть в данный момент разрыв занимает положение т = т0. Площадь,
заштрихованная на графике, равна
Юг
\ [т (v) - т0] dv. Дифференцируя это выражение по х
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
33
и^учитывая, что согласно (1.3.5) ~ = - и согласно (1.4.5)
dro
dx
со-U.
= - 8-
Vi -
V2
^С0
получим
d
dx
с-2
г$0-
I dv
ev2
Г+'^'Г-0-
(1.4.6)
Итак, заштрихованная площадь равна нулю при любом значении х, т. е. от
обеих частей неоднозначного "захле-ста" отсекаются равные площади.
Правило "равенства площадей" мы будем использовать для того, чтобы
проследить за поведением волны в той области, где решение Римана
становится непригодным.
§ 5. Распространение волн Римана(в рамках второго приближения)
Рис. 1.7. Определение положения фронта по правилу "равенства площадей".
На основе ранее описанных методов проследим за поведением некоторых
конкретных волн при распространении их в нелинейной среде.
Начнем с гармонической волны: приз; = 0 v=v0 sin сот. Как мы уже отмечали
(1.4.1), точное римановское решение во втором приближении принимает вид v
=
= у08Ш(о|т-(- . Записав это выражение в форме
сот = arcsin б-^-, (1.5.1)
Vo
V0
где с = ~-ш0х, применим способ графического анализа, со
проиллюстрированный на рис. 1.3. Как показано на
34 гл. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
рис. 1.8 гипербола во втором приближении вырождается в прямую, тангенс
угла наклона которой увеличивается пропорционально х. Когда р = arctg а
станет равным л/4, в профиле появится неоднозначность, соответствующая
образованию разрыва. Поэтому условие а = 1 определяет то расстояние, на
котором волна из гладкой синусоиды трансформируется в разрывную волну
почти пилообразной формы. Безразмерное расстояние о=1 отвечает длине пути
формирования разрыва хр, равной
¦А-Т-5-" 25м- С'5'2'
т шг?о
Рис. 1.8. Графический анализ выражения (1.5.1).
На длине хр укладывается 1
длин волн.
2леМ
Проследим за изменением спектра исходного возмущения на первом этапе, от
о = 0 до о = 1. Для этого выражение (1.4.1), записанное в форме
- = sin (cot + о -) , (1.5.3)
vo \ Vo / 4
надо разложить в ряд Фурье, т. е. представить его в виде
