Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
(1.3.1)
v = v0 sin со t -
X
(1.3.2)
Выделяя здесь сопровождающую координату т == t - - х/с0, т. е. переходя к
системе координат, движущейся
§ 3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМАЦИИ ПРОФИЛЯ 27
вместе с волной со скоростью с0, получим
р = у""па(т + ^1Тш) ' (1-3,3)
где е = (у 4- 1)/2, М = vlc0 число Маха. Заметим, что выражение (1.3.3),
неявно определяющее v, может быть явно разрешено относительно сот:
сот
arcsm
v
Vo
eMo (v/vo)
со ~ 1 + еМо (v/vo) ' (1-3.4)
Здесь М0 = (v0/c0) - амплитудное число Маха. Это выражение проанализируем
графически.
а) 6)
Рис. 1.3. Графический анализ формулы (1.3.4): а) отдельно построены оба
слагаемых формулы (1.3.4); б) выполнено графическое сложение.
На рис. 1.3, а построены графики функции сот = = arcsm (vlv0), а также
второго члена правой части выражения (1.3.4) для двух различных значений
xv х2 параметра х. Интересующие нас деформированные профили получены на
рис. 1.3, б с помощью простого сложения графиков начального возмущения
сот = arcsm (#/v0) и соответствующей гиперболы.
Как видно из рисунка, области сжатия и разрежения искажаются по-разному,
и область разрежения оказыва-
28 ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
ется деформированной сильнее. Нелинейные искажения носят накапливающийся
характер, т. е. растут с увеличением пройденного волной расстояния. В
случае гармонического начального возмущения они пропорциональны
СО о х
х - = числу длин волн, укладывающихся на рас-
С о А"
стоянии х. Искажения тем сильнее, чем больше число Маха М0. Поэтому М0
может служить мерой нелинейности акустического волнового процесса. В том
случае, когда
Рис. 1.4. Графический анализ, основанный на факте существования
критической скорости; поворот прямых с течением времени.
среда недиссипативная, число Маха является критерием подобия: изменение
формы профиля при распространении волн в различных средах будет одним и
тем же при условии равенства чисел еМ0.
Второй способ графического анализа основан на факте существования так
называемой критической скорости акустического возмущения. Поскольку
скорость распро-
тт I Т -f~ 1 2со
странения равна U = с0 -| g- v, при v = укр = - 7+1
это возмущение распространяться не будет.
Линейный характер зависимости U (у) приводит к тому, что любая прямая,
представленная на рис. 1.4, с течением времени будет оставаться прямой,
повернутой на
§ 3. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМАЦИИ ПРОФИЛЯ 29
некоторый угол вокруг пересечения с "линией приведения" v = уКр- Это дает
нам возможность на рис. 1.5 проследить за изменением формы волны.
Выберем на исходном профиле нужное нам число точек и проведем касательные
к ним до пересечения с линией приведения. Можно, вообще
говоря,'воспользоваться любыми прямыми, проходящими чсрсз^эти точки,
однако, очевидно, что касательные значительно удобнее
и1
л! \ в с яу В' С'
/ 0 \1// /Г
У %7
[/ Чср /л/
о. 0г 0,
Рис. 1.5. Изменение формы волны, прослеженное с помощью
рис. 1.4.
для построения профиля, поскольку определяют не только положение
выбранных точек, но и локальную форму кривой.
На рис. 1.5 изображен профиль волны для момента времени t = 0 и на нем
выбраны точки А, В, С. Форму профиля для момента t - tx определяют новые
касательные ОгА', 03В', 02С', построенные с помощью точек пересечения Ov
02, 03 касательных ОхА, 03В, 02С, положение которых однозначно
определяется моментом времени tx: ААг = ВВХ = ССг = c0tx.
В заключение рассмотрим метод характеристик, находящий широкое применение
в гидродинамике. Будем исходить из формулы (1.3.3). Вычисляя производную
дх/дх,
30
ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
взятую при фиксированном значении v, получим dt \ 1 еМ
(-\ =
\ дх /"
или-
со 1 + еМ ' г еМ
(1.3.5)
со 1 ?М
(1.3.6)
Формула (1.3.6) определяет семейство прямых в плоскости х, т, наклон
которых зависит от заданной начальной
Рис. 1.6. Графический анализ нелинейных искажений по методу
характеристик.
скорости. Прямые эти называются характеристиками. Они представляют собой
траектории движения возмущений скорости v в плоскости х, т.
На рис. 1.6 для начального профиля v = vQ sin сот построено семейство
характеристик, позволяющее проследить. за его искажением, а также
деформированные профили в точках хх и х2. Отметим, что в линейном
приближении . (е-"-0 в выражении (1.3.6)) все характеристики являются
прямыми, параллельными друг другу и оси х. Следствием этой картины
является тот факт, что профиль при распространении пе изменяет своей
формы.
§ 4. Образование разрывов в простой волне
Необратимый процесс накопления нелинейных искажений приводит к тому, что
на достаточно большом расстоянии профиль простой волны становится
неоднозначной функцией т. Это показано на рис. 1.3, б, 1.5 и 1.6,
§ 4. ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ПРОСТОЙ ВОЛНЕ
31
где неоднозначность соответствует той области, в которой пересекаются
характеристики.
С математической точки зрения неоднозначные решения вполне приемлемы, так
как представляют собой следствия исходных уравнений Эйлера. Однако
