Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
часто имеет место в случае нелинейных электромагнитных волн [10].
22 гл. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
§ 2. Простые волны в нелинейной акустике
Точное р от е ниету р а вне ний Эйлера, описывающее бегущие плоские
волны, было найдено Риманом еще в 1860 г. При отыскании этого решения
можно не предполагать нелинейность малой. Поэтому в смысле учета
нелинейности Риман разрешил проблему даже более сложную, чем та, которую
мы рассматривали в § 1.
Простой волной обычно называют такой волновой процесс, в котором все
описывающие этот процесс параметры могут быть выражены в функции одного
из них:
Подставляя эти выражения в уравнения (В.1.1), (В.1.2), получим (индексом
обозначено дифференцирование по соответствующей переменной)
Заметим, что систему (1.2.2) удается проинтегрировать в том случае, если
выражения (1.2.1) будут явно определены. Поступим следующим образом: из
(1.2.2) следует, что
По правилу дифференцирования неявной функции левые части выражений
(1.2.3) представляют собой производную dxldt, в первом случае взятую при
постоянном v, во втором - при постоянном р. Но в силу (1.2.1)
поскольку фиксированное значение v однозначно определяет р.
Следовательно, равны и правые части уравнений
Р = Р (v), Р = Р (v).
(1.2.1)
(1.2.2)
Pi +(РУ)е-Рх = 0-
V.
= и + -Т " ~ir = v + Pvr (L2-3)
Г ГХ
X
(1.2.4)
(1.2.3):
§ 2. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ 23
Используя формулу с2 = др/др, приведем (1.2.5) к виду
с2 р" = р2"р, (1.2.6)
откуда получается уравнение
(1-2Л)
позволяющее явно определить выражения, связывающие v, р, р:
•> = ±^Ф-±^- (1-2.8)
Подставляя (1.2.8) в уравнения (1.2.3), получим решение
х = / (") [" ± с (р)] t, (1.2.9)
где / (#) - произвольная функция скорости, а выражение с (v) определяется
уравнением состояния и формулой (1.2.8).
В случае адиабатического уравнения состояния с* = (Эр\ = JL = т HfJLV-1 =
с* (JLV-1,
Wp/s Р РО \ РО / \ РО / (1.2.Ю)
Отсюда следует, что
c(v) = c0 + l^v. (1.2.11)
Приведем также формулы (1.2.1), полученные с помощью (1.2.8) для
адиабатического уравнения состояния:
• с-2-12)
Все эти выражения справедливы для двух типов волн - бегущих как в
положительном, так и в отрицательном направлении оси х. Рассмотрим волну,
бегущую вправо. В формулах (1.2.7) - (1.2.12) ей соответствует знак плюс.
Выражения (1.2.9), (1.2.11) показывают, что относительно
24 гл I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
неподвижной системы координат возмущении среды движется со скоростью
U - с (v) + v = с0 + v, (1.2.13)
т. е. скорость перемещения точек профиля волны неодинакова. Те точки, у
которых v > 0, движутся со
6)
<9
Рис. 1.1. Трансформация профиля синусоидального возмущения в нелинейной
среде: т - сопровождающая координата, х - пройденное волной расстояние.
скоростями U с0 и соответствуют областям сжатия. Наоборот, в области
разрежения v < 0 и поэтому эти области движутся со скоростью U < с0.
Исходный профиль волны по мере его распространения деформируется. Эту
деформацию удобнее всего наблюдать,
§ 2. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ 25
двигаясь вместе с волной со скоростью с0. Тогда те точки профиля, у
которых v - 0, будут неподвижны относительно наблюдателя, а все прочие
точки будут
I 1
иметь относительную скорость Umn --g- v• Ма рис, 1.1 показано, какие
изменения будет претерпевать профиль
Вп.
х=0
-(о
х=х.
J _1_
Si
I L
-СО
Рис. 1.2. Изменение спектрального состава волны за счет нель-
нейного искажения профиля.
волны, заданный на входе в систему (при х = 0) в виде
v = у0 sin соt.
Поскольку мы знаем, что пренебрежение нелинейными членами в уравнениях
Эйлера приводит нас к линейному волновому уравнению и в конечном итоге -
к стационарным волнам, следует сделать вывод, что искажение
26 ГЛ. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
исходного профиля вызвано учетом именно этих нелинейных членов.
На спектральном языке это означает прогрессивное накапливающееся
обогащение спектра волны высшими гармониками: волна, заданная при х = 0 в
виде v = = v0 sin at, при x 0 будет описываться выражением
П-1
представляющем собой спектральный аналог предыдущего рисунка. I
§ 3. Графический анализ деформации профиля простой волны
Существует несколько удобных способов описать поведение простой волны с
помощью графических построений. В отличие от тех качественных
соображений, которые послужили основой для рис. 1.1, здесь будут
использованы точные формулы.
Рассмотрим выражение
представляющее собой формулу (1.2.9), в которой сделан переход от
произвольной функции/ к обратной ей функции Ф.
Несмотря на то, что все последующие рассуждения пригодны для функции Ф
любого вида, нам придется строить график для вполне определенного
начального возмущения. Поэтому рассмотрим конкретный пример: при х = 0 v
= v0 sin at. Гармонический вид возмущения выбран ввиду его особой
важности. Согласно (1.3.1) деформация этого профиля описывается
выражением
со
вида v = 2 Вп sin пах. Этот процесс изображен на рис. 1.2.
