Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
появляется лишь в членах второго порядка малости.
Поскольку представление (VIII.4.10) справедливо при (z/2)/V]>) 1,
метод последовательных приближений при-
годен только для очень медленных течений, скорость которых много меньше
колебательной скорости в звуковой волне. Решение линейной задачи,
описывающее стоячую волну, которая касается стенки, можно найти из
уравнений первого приближения
1 др dU , j, д U
ро дх dt дх
(VIII.4.8)
(VIII.4.9)
у, = № + v(r)+...,vu = vf + vf + ... (VIII.4.10)
dv(i) d2Va)
(VIII.4.11)
v-----------------
dt <Jy2
dt '
-Г.---------1_________
dx 1 dy
(VIII.4.12)
Здесь U = - v0 cos kx cos cot - стоячая волна вдали от стенки.
§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ
221
Граничные условия: г;к|у^о = vv\v=o = 0, ^ С/ при
у > сс. Искомое решение при х - у!6 имеет вид
= - v0 cos кх [cos соt - е~у cos (сot - х)],
= - г-'о^б sin кх j^x у j cos соt -
- -y-sin сot -f -j/=|sin (c"V - x -f- -y)"L (VIII.4.13)
Укажем на недостаток метода: несмотря на то, что при описании волновых
акустических движений среда принципиально должна быть сжимаемой, решение
^ нахо-
дится из уравнений (VIII.4.И), (VIII.4.12), пригодных
Рис. VIII.7. Линии тока течения в пограничном слое.
для описания течений вязкой несжимаемой жидкости. С помощью (VIII.4.13)
вычисляется правая часть в стационарных dvf/dt = О уравнениях второго
приближения:
дЧ(r)
- V ¦
дг/2
и
dU
дх
За(r)
дх
- V
+
о)
dv[1}
dx
,.(D
'dvi1}
d>J
dvf
dy
0,
(VIII.4.14) (VIII.4.15)
которые позволяют определить искомую скорость течения
V{x
-г--- sin 2 кх
4со
(1 - х) е~у cos х + (4 -f- х) е~у sin х -
(VIII.4.16)
222
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
г?
Vy '' = к8 cos 2кх
у 2,cq
+ Зе_х cos х + (2 + и) sin х + -у- и у-"]-
Линии тока этого течения изображены на рис. VIII.7.
В настоящее время имеется много решенных задач, посвященных акустическим
потокам в пограничном слое. Несмотря на большое число практических
применений, теоретическое рассмотрение этих проблем в основном проводится
методом последовательных приближений, о достоинствах и недостатках
которого упоминалось выше. Поскольку задачи эти уже нашли отражение в
прекрасных обзорах Зарембо [8] и Ниборга [9], их более подробное
рассмотрение здесь не представляется целесообразным.
§ 5. Законы подобия и классификация акустических течений
Как известно из гидродинамики, два течения вязкой несжимаемой жидкости,
находящейся в поле внешних сил, являются геометрически подобными, если
они обладают одинаковыми числами Рейнольдса (R) и Фруда (Fr). В силу
полной математической аналогии указанный вывод должен быть распространен
и на акустические течения.
Действительно, выполняя в уравнении (VIII.1.4) следующее преобразование
переменных:
X = 1хъ у = lyx, и = и0ии
(VIII.5.1)
t=~rrtl' 1Г = и°1Г' ^ ~ AF ъ z = hi,
и о Ро Pi
где I, U0, А - некоторые характерные для данной задачи постоянные,
получим
+ (IW ВЧ - 4- д Х\ = - + тг г-
(VIII.5.2)
Числа Рейнольдса и Фруда определяются выражениями
§ 5. ЗАКОНЫ ПОДОБИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
223
В отличие от классических задач гидродинамики, где обычно F имеет смысл
константы g - ускорения силы тяжести, в акустических течениях F
вызывается звуковой волной и в "зависимости от геометрической формы
области, размеров и формы звукового пучка, нелинейных эффектов,
поглощения, дифракции и т. д. может принимать самые разнообразные
значения.
Итак, поскольку F в общем случае является сложной функцией координат,
весьма чувствительной к изменению условий эксперимента, числа Fr для
различных типов акустических течений могут сильно различаться и это
необходимо учитывать при воспроизведении адекватных экспериментальных
моделей. Число Fr связано как с акустическими, так и с гидродинамическими
параметрами. Используя, например, выражения (VIII.1.14), (VIII.1.16),
можно представить соответствующие числа в виде [108]
F b 2(Re)2 ( У" \3 1 р _ b Re / V" \3 1
Г* г] R \ г?о / М ' Гг г] R \ vo / М
(VIII.5.4)
Здесь М = vjc0 - акустическое число Маха.
Законы подобия дают основание классифицировать акустические течения. Как
уже неоднократно подчеркивалось, число R характеризует вклад нелинейных
членов уравнений в поведение потоков. При малых R течения можно считать
медленными и решать линейные уравнения. При больших R существенны
нелинейные гидродинамические эффекты. Этот вывод не относится к
эккартовским (одномерным) течениям, так как там член (U\)U исчезает в
силу выбора геометрии задачи (в гидродинамике эккартов-скому ветру
отвечает# известное течение Пуазейля).
При желании можно различать звуковой ветер по акустическим числам
Рейнольдса, отношению скорости потока U0 к колебательной скорости г?0, по
интенсивности звука, вводимого в среду, и т. д. Однако все эти параметры
входят в число Fr, и поэтому полезно иметь в виду более общие соображения
(VIII.5.2), (VIII.5.3).
Наконец, широко принята классификация акустических течений по их
масштабам (см. § 4) и геометрической форме области, в которой они
