Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 61

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 81 >> Следующая

конкурирующих процесса: во-первых, нарастание скорости потока и укручение
профиля скорости (члены F (х) и U dU/dx) и, во-вторых, процесс
"диссипации", сглаживания профиля как за счет диффузии импульса от оси
системы, так и за счет перераспределения импульса вдоль оси (описываются
соответственно членами - vb2U, \d2U/dx2 в уравнении (VIII.3.28)).
Две вышеуказанные тенденции проиллюстрированы на рис. VIII.5, а, б. Если
проследить за изменением скорости потока в некоторой фиксированной точке
х0 для различных моментов времени tx <' t2 <' t3 <б t4 <С t5, исходя из
графиков VIII.5, а, б, то окажется, что процесс установления носит явно
немонотонный характер. Кривая зависимости U (хй, t) (см. рис. VIII.6)
содержит значительный выброс, и это качественно согласуется с
результатами экспериментов [106, 107].
§ Другие типы течений
Характерные размеры неоднородности потоков, рассматривавшихся в § 2, 3,
определялись размерами L той области, в которой они возникали. Поскольку
обычно L много больше длины звуковой волны К, такие потоки называются
крупномасштабными [6]. Существуют и другие типы течений, в которых размер
неоднородностей определяется длиной волны % (среднемасштабные) или
толщиной
Рис. VIII.6. Кривая немонотонной зависимости скорости течения от времени.
218
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
акустического пограничного слоя б = j/^v/o) (мелкомас-
штабные течения).
Характерный масштаб L, К или б входит-в гидродинамическое число
Рейнольдса R для соответствующего течения. Обычно L^>)ij>6i при всех
прочих фиксированных параметрах v, U0 для чисел R справедливо аналогичное
нег равенство Rl^> R~k Rb- Это означает, что с уменьшением размеров
неоднородности потока постепенно исчезает возможность появления
нелинейных гидродинамических эффектов и все более правомерным становится
применение линеаризованных уравнений.
Рассмотрим акустические течения в пограничном слое. В теории пограничного
слоя предполагается, что вдали от стенки имеется основной поток жидкости,
которую можно считать идеальной. На стенке же должны выполняться
граничные условия прилипания (U = 0), и в тонком пограничном слое
жидкость следует рассматривать как вязкую. Эти два потока непрерывным
образом сшиваются.
Чтобы получить уравнения движения для акустических течений в пограничном
слое, надо сделать ряд упрощений в общих уравнениях (VIII.1.3),
(VIII.1.4). Предположим, что плоская граница обтекаемого тела совпадает с
плоскостью х, z декартовой системы координат, причем ось х направлена
параллельно основному обтекающему потоку; Ux, Uу от координаты z не
зависят, т. е. движение является двумерным. Общие уравнения, записанные в
компонентах, имеют вид
у ду ^ дтЛ сЬ/2
_ 1 дро
Ро дх
+ F:
(VIII.4.1)
dt
+ и
(VIII.4.3)
§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ
219
Вдоль направления у скорость заметно изменяется на расстояниях порядка б.
В направлении же оси х изменения более медленные - на расстояниях порядка
I, где I - некоторая характерная длина. Если считать 8/1 малым параметром
(- р), то из (VIII.4.3) следует UyIUx ~ р.
Оставляя в уравнениях (VIII.4.1), (VIII.4.2) члены низших порядков
малости по параметру р, придем к уравнениям
dll dll dU d*U"
+ Ux + Uv ^ - V -dt ' xdx 11 dy dy2
1 d pi) ( rr 1 d pn .г,
po dx *' po dy v
или, исключая отсюда переменную po, к одному уравнению эи. ап av а*
г/. я (*
+ и* ST + иу ~dT ~ v ~d?~ = "эГ \Fydy + *'
(VIII.4.4)
которое вместе с (VIII.4.3) позволяет определить компоненты скорости Uх,
Uv при заданных F, начальном и граничных условиях. Сила Fдолжна быть
вычислена с помощью общей формулы (VIII.1.10) на основе решения для
звуковой волны, которая касается стенки (т. е. колебательная скорость па
границе обращается в нуль).
Однако предложенная схема является чересчур сложной (даже если пренебречь
нелинейными членами в уравнении (VIII.4.4)), и поэтому при изучении
течений в пограничном слое обычно используется метод последовательных
приближений.
В качестве исходной системы уравнений здесь берут уравнения Навье -
Стокса (VIII.1.1), (VIII. 1.2), записав их для случая несжимаемой
жидкости. С помощью простых оценок., уже проделанных выше, переходят к
уравнениям для пограничного слоя:
dv dv dv" d2v А я "
- (VHI.4.5)
dt 1 x dx y dy dy2 po dx
p = p(x,t), (VIII.4.6)
dv" dv
+ -ar = 0. (VIII.4.7)
X
dx dy
220
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Поскольку вдали от стенки жидкость считается идеальной и несжимаемой, а
поток U является одномерным, для него имеет место интеграл движения Зф/dt
+ U2/2 + + PiРо = const (см. [1]), где ф - потенциал скорости U.
Дифференцируя это выражение по х, получим
Подставляя результат (VIII.4.3) в уравнение (VIII.4.5), приведем его к
виду
Ищем решение уравнений (VIII.4.9), (VIII.4.7) методом последовательных
приближений:
Величины первого порядка малости vx\ vv* изменяются во времени
периодически и представляют собой акустическое поле в линейном
приближении. Постоянная составляющая - собственно акустическое течение -
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed