Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 6

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 81 >> Следующая

величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления.
Таким образом, образование в среде разрывов приводит к диссипации энергии
уже в рамках модели идеальной среды. Разумеется, имеют место необратимые
процессы, происходящие в тонком слое порядка длины свободного пробега
молекул. Однако существенно, что эти процессы описываются одними только
законами сохранения (В.2.1) - (В.2.3).
ГЛАВА I
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ § 1. Спектральный
подход к нелинейным волнам
Как было показано во введении, решением обычного волнового уравнения (В.
1.14) является стационарная волна, т. е. такая волна, которая может быть
описана функцией вида Ф (t - х/с0). В реальных условиях в силу ряда
обстоятельств график функции Ф не остается неизмененным и деформируется
по мере распространения волны. Это означает, что Ф зависит не только от
"бегущей" координаты t - xlc0, но и еще от пройденного расстояниях.
Причиной, вызывающей деформацию профиля волны, может быть обычное
затухание. Если источник звука испускает не строго монохроматическую
волну, а сигнал, состоящий из многих волн различной частоты со, то
профиль может деформироваться вследствие дисперсии, т. е. из-за того, что
волны с различными со распространяются с разными фазовыми скоростями.
Такой случай в этой главе мы рассматривать не будем. И наконец, важнейшим
механизмом, приводящим к искажению исходного профиля, является
нелинейность. Сейчас мы покажем качественно, с помощью простых
рассуждений, к какого рода влиянию приводит наличие нелинейных членов в
исходных уравнениях.
Будем по-прежнему исходить из системы уравнений Эйлера (В. 1.1) - (В.
1.3). Как и во введении, предположим, что возмущения р', р' основного
состояния малы и скорость v много меньше скорости звука. Однако
нелинейными членами теперь пренебрегать не будем. Исключая из трех
уравнений переменные р', р', можно получить
20 гл. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ
одно уравнение для v:
где через L2 (у2) обозначено выражение, содержащее квадратичные по v
члены, через L3 (у3) - кубичные и т. д. Приведем, в частности, явный вид
(см., например, [115]) выражения для L2 (у2):
Считаем, что нелинейные члены малы по сравнению с линейными. Тогда
уравнение (1.1.1) можно решать методом последовательных приближений:
¦д = г/1) -|- г/2) -f- г/3)
Предполагая, что граничное условие имеет вид:
получим решении уравнения первого приближения:
Уравнение второго приближения получается подстановкой (1.1.4) в правую
часть (1.1.1):
Отсюда видно, что во втором приближении квадратичная нелинейность L2
может привести к появлению волны с частотой со + со = 2со (генерация
второй гармоники) и волны со - со = 0, т. е. появлению постоянной
составляющей (акустическое детектирование). Эти процессы будем называть
двухфононными.
Кубичная нелинейность L3 обусловливает следующие процессы: со со -}- со =
Зсо - генерация третьей гар-
(1.1.2)
при х = 0 v = v0 sin at,
(1.1.3)
г/1) = v0 sin со (t - x/c0).
(1.1.4)
aV2> 2 aV2>
dt* C0 QX2
= L2 sin2 со (t - + L3 ^0 sin3 со (t - + ...
(1.1.5)
§ 1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОДХОД К НЕЛИНЕЙНЫМ ВОЛНАМ 21
моники, со -J- со - со = со - нелинейная добавка к волне основной
частоты. Эти процессы назовем трехфононными процессами. Аналогично членам
высших нелинейностей мы обязаны появлением четвертой, пятой и т. д.
гармоник уже во втором порядке теории возмущений.
Следующие порядки теории возмущений еще более усложнят картину, приводя к
появлению новых вкладов в постоянную составляющую, основную частоту и
гармоники.
Теперь предположим, что Ьъ = L4 == ... =0. Ограничимся только
квадратичной нелинейностью и исследуем, к чему сводится ее влияние, если
учесть все порядки теории возмущений. Во втором порядке мы имеем волны
2со = со -J- со, 0 = со - со. В третьем порядке получим 2со + со = Зсо,
2со - со = со, т. е. третью гармонику и нелинейную добавку к волне
основной частоты (в точности то же самое получалось в результате
взаимодействия трех фононов, обусловленного кубичной нелинейностью), а
также процессы 2со -ф- 2со = 4со, 2со - - 2со = 0, 0 2со = 2со.
Рассуждая дальше таким же образом, мы придем к выводу, что в результате
действия одной лишь квадратичной нелинейности, вызывающей
последовательность двухфо-нонных процессов, также вносится вклад в волну
основной частоты и появляются волны с частотами 0, 2со, Зсо, 4со,..,
Для того чтобы эта и без того необычайно сложная картина стала полной,
надо еще учесть "перекрестные" процессы от нелинейностей всех степеней во
всех порядках теории возмущений.
Совершенно очевидно, что в такой постановке задача не может быть решена.
Более того, представляется невозможным определить явный вид выражений для
всех Ln.
Таким образом, подход к нелинейным акустическим волнам с точки зрения
спектрального анализа удобен не всегда. Он весьма плодотворен в тех
случаях, когда можно ограничить число взаимодействующих гармоник за счет
выбора специальных свойств среды, в которой распространяется волна. Это
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed