Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
только в очень небольшом числе случаев. Математический аппарат,
использованный при отыскании одного из таких решений - стационарной
задачи Ландау о "затопленной струе" [1] - может быть интерпретирован в
теории акустических течений. Поэтому необходимо остановиться на этом
частном, но очень важном (в силу своей исключительности) примере.
Источник звука помещен в начале сферической системы координат; полярная
ось направлена вдоль оси звукового пучка. В силу аксиальной симметрии ?/ф
= 0, a Ur, Uo являются функциями только от г и 0. Исходная система
уравнений (VIII.1.3), (VIII.1.4) должна быть при этом записана в
сферических координатах:
dU"
dU
U --------- 4--------
и'' дг ^ г 30
ctjr 0 &Uг
г2
30
f/-'-
9
Г
2 dU 72" ~30
1 32
1 &иг
L С Эг2 V ^ г/ 1 Г2 302
2,7г 2 ctg 0
(rUr)
4-
Г2
U
гт ди, , и, зип t uru6
Ur dr + r 30 ^ r
r 3r2
1 сЩ0 9U" 2 &U r
r2 Д02
30
dU
______Г
dr
1 dUf>
r 30
2f/"
(rVe)
U"
r2 30
r2 sin2 0
hr-^ + F", (VIII.3.10)
pnr 30
+
= 0. (VIII.3.11)
Ищем автомодельное решение этой системы в следующей форме:
иг=-?г<рф), ^e = -f/(0), -^ = -5-Х(0)- (VIII.3.12)
Уравнение (VIII.3.11) приводится при этом к виду
/' + ф +/ctg0 - 0, (VIII.3.13)
§ 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
211
а (VIII.3.9), (VIII.3.10) с учетом соотношения (VIII.3.13) дадут
соответственно
ф" + ф' (ctg 0 - /) + ф2 + f - 2х = - -J- Fr, (VIII.3.14)
= (VIII.3.15)
Поскольку левые части этих уравнений есть функции только от 0,
необходимо, чтобы сила I? зависела от г вполне определенным образом, а
именно
jF7 (г, 0) = (VIII.3.16)
Только в этом случае исходная система уравнений в частных производных
может быть сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Покажем, что требованию (VIII.3.16) удовлетворяет сила^7, вызванная
поглощением сферической волны пилообразного профиля. Используя в качестве
исходных выражения (III.2.7), (III.2.9), получим аналог формулы (1.5.18)
для гА а затем (с помощью выражения (VIII.1.10)) для F, записанного в
сферической системе координат:
Fr - - ^^ аналог формулы (VIII.1.16)
8(027"
рг = с ^ - F0 = 0. (VIII.3.17)
fo
Заметим, что при вычислении (VIII.3.17) были использованы выражения для
сферически-симметричных волн. Вообще говоря, такая волна вызывает
появление поля сил, симметрично растягивающих среду, и поэтому не
сопровождается возникновением течений. В нашем же случае следует
предположить, что волна слабо зависит от 0 (имеет вид конического
звукового пучка).
Кроме того, требование (VIII.3.16) может быть выполнено для любого типа
затухания, если только волна вызывает силу F, отличную от нуля лишь в
малой окрестности начала координат. В этом случае можно считать, что
волна передает свой импульс среде в одной точке (при г = 0), и движение
рассматривать в области, где F = 0.
212
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
В обоих случаях (VIII,3.15) интегрируется сразу и по-
Г3
2v2J
f
зволяет ИСКЛЮЧИТЬ функцию %+o-i^V из (VIII.s3.14).
Решением полученного уравнения
Ф" + ф' (ctg 0-/) + Ф2 + 2ф = О (VIII.3.18)
и уравнения (VIII.3.13) являются, как нетрудно прове рить, следующие
выражения:
?9 А 1
(VIII.3.19)
В2 - 1 1
- COS 0 Y I (В - COS 0)2
Постоянная В связана с импульсом, выделяемым в среду за единицу времени.
Вычисляя с помощью полученного решения поток импульса через сферическую
поверхность, охватывающую источник звука, получим
= 16яг2РоД [l + з J-l} ¦ - -f In (VIII.3.20)
Величина 3b находится по известной силе F и выражается через интеграл от
p0F по области, в которой F Ф 0. Например, для силы F (VIII.1.13),
вызванной цилиндрическим пучком плоских волн с площадью поперечного
сечения S
оо 2
3й = p0^dz dy ^ avle~2xxdx - 9^0 S. (VIII.3.21) s о
При Зь -> 0 (импульс мал) постоянная В стремится к бесконечности, и для
скорости потока получаются выражения
тт . & sin 0 " cos0 (¦уттт ч оо\
г "4зх\>ро г "
В противоположном случае 3й ->¦ В стремится к единице: В =
1 + 62/2, где б2 = 64 jtv2p0/3 Зь. Выражения
Ur, Uq принимают вид
Р* = - ЖГЗГ . (VIII.3.23)
при малых значениях углов 0 (0 - б) и
-ctg-|-" Ur=-^~ (VIII.3.24)
I 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
213
при больших значениях 0 (0 - 1). Для нахождения линий тока необходимо
проинтегрировать уравнение (VIII.3.8), записанное в сферических
координатах: dr/Ur = rdQ/Ue. Интегрирование дает следующий результат:
г2 sin2 0 В - cos 0
= const, В 1.
(VIII.3.25)
Линии тока, построенные при помощи (VIII.3.25), изображены на рис.
VIII.4. Несмотря на то, что полученное решение является точным, оно не
дает исчерпывающего объяснения особенностям акустических течений при R^>
1.
Это связано прежде всего с весьма жестким ограничением на вид силы
F(VIII.3.16) и со стационарным характером этого решения, це позволяющим
рассматривать процессов установления.
При изучении нестационарных акустических течений
можно воспользоваться упрощенной моделью, справедливой для описания
потоков вблизи оси звукового пучка
[104] *). Пусть движение в системе обладает аксиальной симметрией. В
