Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
стационарное решение (VIII.2.10) в ряд по системе функций
/о(^г)-/0(ц<:;). (VIII.2.17)
Непосредственное разложение по функциям (VIII.2.17) производить неудобно,
поэтому вместо решения (VIII.2.10)
, . 1 d / U (г, оо) \
введем ф (г) = - ~^r (-jj- ) и разложим ф в ряд по полной и ортогональной
с весом г3 на отрезке [0, г0] системе собственных функций
2/" = л(^г)^г, 2/0 = 1 (VIII. 2.18) краевой задачи
77 t7-3 77) +^г32/ = °- |у(0)|<°о. У,(г0) = 0.
(VIII.2.19)
Возвращаясь затем от ф к стационарной скорости U (г, оо) и сравнивая
полученное разложение с формулой
§ 2. ЭККАРТОВСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
207
(VIII.2.16), взятой при t - 0, найдем
. (VIII.2.20)
Окончательное выражение для скорости акустического потока имеет вид
Заметим, что в полученном выражении легко обнаруживаются известные
предельные переходы. Скорость потока обращается в нуль при = г0 за счет
выражения, стоящего в квадратных скобках в формуле (VIII.2.20). Чтобы в
этом убедиться, достаточно воспользоваться ре-куррентными соотношениями
для функций Бесселя. Скорость потока обращается в нуль и при г - г0. Это
сразу видно из второй квадратной скобки выражения (VIII.2.21). Наконец,
почленным интегрированием ряда (VIII.2.21) легко проверить, что условие
равенства нулю полного потока массы (VIII.2.8) также выполняется.
В соответствии с выражением (VIII.2.21) на рис. VIII.3 построены профили
скорости течения для трех моментов времени t3 )> t2 _> tx. Характерное
время установления акустического ветра, как следует из решения,
оценивается формулой
Для трубы радиусом 3 см, заполненной водой, т - ¦- 40 сек (в той области
трубы, где справедливо приближение одномерной задачи). Согласно
(VIII.2.21) процесс установления течения носит монотонный характер. Для
качественного рассмотрения проблемы в решении (VIII.2.21) можно
ограничиться первым членом ряда.
X /0 (-^ г) - /0 (а(r))] . (VIII. 2.21)
X J о
(VIII.2.22)
208
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
§ 3. Неодномерные течения
В реальных условиях эккартовское течение осуществить трудно. Дифракция и
затухание звука приводят к появлению зависимости силы F от координаты х.
Зависимость от поперечной координаты г также оказывается более "ложной,
чем в формуле (VIII.2.5). Кроме того, на конфигурацию потока оказывает
сильное воздействие геометрическая форма области, занятой течением. В
результате реальные акустические течения становятся неодномерными, и их
следует описывать общими уравнениями (VIII.1.3), (VIII. 1.4). Но решить
эти уравнения не представляется возможным (даже для простейших областей)
главным образом из-за их нелинейного характера. В § 2 такой трудности не
возникало, так как для одномерной задачи нелинейный член (17V) 17
тождественно исчезал.
Аналогичное упрощение может быть сделано и по другим соображениям. Дело в
том, что член {W) U в уравнении (VIII.1.4) имеет порядок величины Ullr0
(где U0 - характерная скорость потока, 7*0 - его характерный
размер), а член - AI7 порядка величины - . Отношено Ро Гр
ние первой из этих величин ко второй равно
(VIII.3.1)
и представляет собой гидродинамическое число Рейнольд
са. Оно будет в дальнейшем обозначаться через R (в отли
чие от акустического числа Рейнольдса Re).
В тех случаях, когда R мало, нелинейным членом в уравнении движения можно
пренебречь и система уравнений для потока линеаризуется:
-^--vA U = -^^ + F, (VIII.3.2)
div U = 0. (VIII.3.3)
Для того чтобы исключить переменпую р0, нужно применить операцию rot к
обеим частям (VIII.3.2):
д
R =
и ОГО
§ 3. НЕОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
209
Особенно простой вид система (VIII.3.3), (VIII.3.4) принимает в случае
плоского течения, когда вектор U лежит в плоскости переменных х, у и все
величины являются функциями только х, у и времени. В декартовых
координатах операции rot и А коммутируют, поэтому в уравнение (VIII.3.4)
входит только одна переменная
/ 8U" dU \ rot U = е2 -g-JL - .
\ их ду /
Уравнение (VIII.3.4) имеет только одну проекцию - на ось z, т. е.
является скалярным. Введем для скорости течения функцию тока ф такую, что
При этом
?,"=-Ж" <vm-3-5>
^ <vnL3'6)
уравнение (VIII.3.3) удовлетворяется тождественно, а (VIII.3.4) принимает
вид
я dF" dF
4-Дф-тДДф = -^---^ (VIII.3.7)
Решая это уравнение с конкретными начальными и граничными условиями,
можно определить функцию тока ф.
Заметим, что ф имеет простой геометрический смысл. Приравнивая ф (х, у)
произвольной постоянной, получим семейство уравнений линий тока для
стационарного течения: ф (х, у) = С. Действительно, дифференцируя это
уравнение: ^ dx + ^jdy - 0 и используя свойство (VIII.3.5), придем к
соотношению
dx dy
177 = 177' (VIII.3.8)
представляющему собой дифференциальное уравнение для линий тока.
При больших значениях гидродинамического числа Рейнольдса (R 1) нужно
искать точные решения нелинейных уравнений (VIII. 1.3), (VIII.1.4) либо
делать иные упрощения, отличные от линеаризации.
210
ГЛ. Л'111. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Как известно, точные решения уравнений движения вязкой жидкости получены
