Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндрической трубе радиуса г0 с жесткими стенками. В начале координат
(при
TF
<-9771 -< 1 _ У у > •*-! v
Рис. VIII.2. Потоки в замкнутом объеме. Параллельными штриховыми линиями
отмечена область эккартовского течения.
х = 0) находится непроницаемый торец, на котором расположен источник
звука. Труба является полубесконеч-ной, т. е. отраженной волны в ней не
возникает. Этот режим можно осуществить, например, расположив идеальный
поглотитель звука на некотором расстоянии от источника (см. рис. VIII.2).
В такой постановке задачу целесообразно решать в цилиндрической системе
координат. Исходная система
§ 2. ЭККАРТОВСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
203
уравнений (VIII.1.3), (VIII.1.4) принимает вид
Этот параграф целиком посвящен так называемым эк-картовским (одномерным)
течениям, при рассмотрении которых пренебрегают зависимостью скорости
потока от координаты х.
Итак, предположим, что имеется некоторая область, заключенная между двумя
поперечными сечениями трубы, в которой производная dUJdx пренебрежимо
мала (см. рис. VIII.2). Из уравнения (VIII.2.3) следует, что при этом Uг
= 0, а уравнение (VIII.2.2) приводит к соотношению dpjdr = 0. Таким
образом, р0 есть функция только от х, t. Обозначая Uх просто через U и
принимая во внимание все замечания, вместо уравнения (VIII.2.1) придем к
следующему:
Сила F, вызывающая поток, обусловлена поглощением звуковой волны и в
зависимости от характера поглощения может быть записана по-разному
(VIII.1.14), (VIII.1.16). Звуковой пучок считается коллимированным; при
выбранной-геометрии пучка для силы F справедливо следующее представление:
В качестве константы А здесь можно взять любое из выражений (VIII.1.14),
(VIII.1.16). Будем считать, что F от времени не зависит, т. е. сила
устанавливается мгновенно
dU г| 1 д
dt ро г дг
F (г) = Лй (ту - г),
(VIII.2.5)
где
й (гх -¦ г) =
204
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
с приходом звука в точку наблюдения. Пусть этому моменту соответствует
время t = 0.
Поскольку все члены в уравнении (VIII.2.4) зависят
1 др0
только от г, t, следовательно, градиент давления--------
Ро 0х
также есть функция г, t. Но было показано, что р0 от г не
зависит. Поэтому - - = K(t) и уравнение для одномерных
Ро Ох
акустических течений принимает вид
тг-'НтИ'-4^) = <VIII-2-6>
Уравнение (VIII.2.6) вместе с граничными условиями
U (г0, I) = 0, | U (0, t) | < ос (VIII.2.7)
и нулевым начальным условием U (г, 0) = 0, а также с дополнительным
требованием равенства нулю полного потока массы через поперечное сечение
трубы:
>0
\rUdr = 0 (VIII.2.8)
о
позволяет определить искомую скорость течения U (г, t) и неизвестную
функцию К (t).
Рассмотрим вначале установившееся течение, когда dUldt =0, К (t) = К (х)
= const. Уравнение (VIII.2.6) превращается при этом в обыкновенное
дифференциальное уравнение
- I У W ('1Б-) г) - К(оо). (VIII.2.9)
Интегрируя (VIII.2.9) и используя условия (VIII.2.7), (VIII.2.8) для
определения двух произвольных констант и величины К (оо), получим решение
1 /а * \ Л 1 Г1 \ Л г2 \
i 2. ЭККАРТОВСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
205
Здесь
U 0 =
(VIII. 2.11)
Профиль радиального распределения стационарной скорости потока изображен
на рис. VIII.3, кривая t3. Скорость течения достигает максимального
значения на оси системы. При увеличении г скорость уменьшается до нуля
(на расстоянии, вообще говоря, не равном /д) и затем меняет знак. Когда
звуковой пучок полностью заполняет трубу, т. е. гх~ г0, скорость потока
тождественно обращается в нуль.
Теперь перейдем к рассмотрению процесса установления акустического ветра
[103]. Здесь удобно произвести следующее разбиение искомых функций:
Рис. VIII.3. Процесс
установления эккартовского течения.
и (г, l)= и (г, оо) + ин (r,t), К (t) = К (ос) + кн (t),
(VIII.2.12)
U (г, ос), К (сх) - это уже известное стационарное решение, a Un, Кп -
искомые нестационарные добавки. Вычитая (VIII.2.9) из (VIII.2.6), получим
уравнение для Un, Ка:
at
_!L
Ро
1
д
дг
ьи,
дг
Ks(t). (VIII.2.13)
Граничное условие на стенке трубы и дополнительное условие равенства нулю
полного потока массы через поперечное сечение имеют место по-прежнему,
зато начальное условие становится неоднородным:
Un (г, 0) = - U (г, оо).
(VIII.2.14)
Функцию Ка (/') удобно определить до того как будет найдено явное решение
уравнения (VIII.2.13). Для этого
20fi
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
следует умножить обе части уравнения (VIII.2.13) последовательно на г и
г3 и проинтегрировать в пределах от 0 до г0. Используя затем
дополнительное и граничное условия, можно получить два простых
соотношения, из которых и находится величина Кн:
П
К" W = 4 г'3и"(г' l)dr' (VIIT.2.15)
г° о
Подставляя (VIII.2.15) в уравнение (VIII.2.13) и решая его методом
разделения переменных, найдем
- _ I .'(2)
ип =
П=1
" fl,r / № \ ' 1
%Спе ) * /0(i^_rj-/0(^;2)) .
(VIII.2.16)
Здесь - корни функции Бесселя второго порядка. Коэффициенты Сп нужно
определить из начального условия (VIII.2.14), разложив для этого
