Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
где F - сила, действующая на единицу массы. Отметим,
что в случае нестационарных течений для перехода к системе (VIII.1.3),
(VIII.1.4) необходимо выполнение еще одного условия: характерное время т
изменения скорости U должно быть много больше того времени, за которое
звук успевает пробежать рассматриваемую область (условие
квазистационарности).
§ 1. ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
199
Итак, пусть выполнены все указанные ограничения. Покажем, как из исходных
уравнений (VIII.1.1), (VIII.1.2) получить систему (VIII.1.3), (VIII.1.4)
в явном виде. Представим параметры р, v, р в форме [99]:
Р = Ро + Ра, Р = Ро + Ра, V = V0 + VA, (VIII.1.5)
где
т
Ра - ' "ут ^ Ра^^ = О,
О
Т
Ра = P^t = (VIII.1.6)
о т
vA = - ^ vadt = 0. о
Иными словами, усредненные значения параметров Р = Ро> Р - Ро^ v = vo
должны характеризовать акустические потоки. Однако нелинейный характер
исходных уравнений несколько усложняет картину, и линейная суперпозиция
волны и потока, предположенная при записи (VIII.1.5), на самом деле не
имеет места. В этом легко убедиться, подставляя выражения (VIII.1.5) в
уравнение (VIII.1.2) и усредняя его по времени. Получим
div(*" + А^-) = 0. (VIII.1.7)
Сравнивая выражение (VI11.1.7) с уравнением (VIII. 1.3), можно заметить,
что смысл скорости течения имеет величина U = v0 + Pa^a/Poi а не ^о-
Именно U характеризует средний перенос массы среды. Действительно, поток
массы через некоторую поверхность S определяется интегралом
( pv ds - ^ р0 ^v0 -]-"Д7Д-) ds = рЛ U ds. as s
200
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Таким образом, вместо (VIII.1.5) надо писать
Р = Ро + Ра (Г, t), Р= р0(1% Ц*) + ря(г, t),
v = и (г, lit) + va (г, t) - . (VIII.1.8)
Теперь сложим уравнения (VIII.1.1) и (VIII.1.2), умножив их на р и v
соответственно. Получим
о
-gf (Pv) + Р (г'Д) v + v div v =
= - Vp + Л А" -f ) grad'div-y. (VIII.1.9)
Подставляя в это уравнение выражения (VIII.1.8), усредним его по времени
и сохраним члены до второго порядка малости включительно, считая U/c0,
vjc0, ра/р0-р. В результате придем к уравнению (VIII.1.4), в котором
F = - (vaV)va - va div va дг A (pava) -
Po
-~7-(? + T)^rad div(p^)- (viii.l.io)
Итак, задача об определении акустических течений действительно сводится к
системе уравнений (VIII.1.3), (VIII.1.4) для течения вязкой несжимаемой
жидкости.
Найдем явный вид выражения F для некоторых частных случаев. Если течение
вызвано плоской бегущей волной, то г?а/с0 = ра/ро! в выражении
(VIII.1.10) не равны нулю только производные д/дх и оно принимает вид
д!л (s-l-T'n) <32~2
F =--------2---------------- . (VIII. 1.11)
ОХ р0Со ох2 ' 1
Для Re 1 бегущая волна описывается выражением (В. 1.29). Вычисляя v\,
найдем
V2
^=-± e-w*. (VIII. 1.12)
К
_а= ъ
Если (M/Re)2 <g/ 1, то в выражении для F можно ограничиться первым членом
и
F = avle-*ax. (VIII. 1.13)
§ 1. ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
201
Обычно предполагают, что размеры рассматриваемой области много меньше
1/2а и изменением амплитуды волны можно пренебречь. Тогда е~гах гг; 1 и
[100]
F = av0. (VIII. 1.14)
Естественно, что в этом случае (когда Re < 1) при стремлении коэффициента
поглощения волны а к нулю сила F обращается в нуль и акустические течения
не возникают.
Для Re /$г> 1 можно воспользоваться формулами (1.5.3) или (1.5.9),
описывающими волну на этапе 0 </ ст <Г 1, либо формулами (II.2.10),
(II.2.11) на этапе ст /> л/2.
Как было показано ранее (см. (1.5.16)), при or <Г 1 v2 = г?о/2 и,
следовательно, F = 0. В области же ст )> л/2 образуется крутой ударный
фронт, и характер затухания волны становится существенно иным; мы вправе
ожидать поэтому сильного отличия от выражений (VIII.1.12)- (VIII.1.14).
Решения (II.2.10), (II.2.11) в предельном случае Re -> оо переходят в
(1.5.13), (1.5.14).
Вычислим F в этом важном частном случае, когда течение вызывается
распространяющейся идеальной пилообразной волной. Для "пилы" со
сглаженным фронтом (II.2.10), (II.2.И) выкладки вполне аналогичны и
проделываются без труда. (Лишь окончательный результат оказывается
несколько более громоздким.) Используя
выражение (1.5.18) для v\, на основе (VIII.1.11) получим
Г 2п2 scoyi?
F=~-------------2- (VIII. 1.15)
\ 3 (Ч-зрсЦ
В формуле (VIII.1.11) мы ограничились первым членом, предположив, что
Ma/Re<^l. Если к тому же рассматривать достаточно короткую область, в
которой ^ 3 гг;
гг; const, то F примет вид [101, 102]
202
ГЛ. VIII. АКУСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Величина константы G, как нетрудно видеть, зависит от местонахождения
рассматриваемой области. Очень существенно, что в этом случае (Re 1)
выражение (VIII. 1.16) для F не зависит от коэффициента поглощения а. Это
связано с особым характером затухания пилообразной волны, что уже
многократно подчеркивалось ранее. Итак, при Re 1 силы, вызывающие
акустические течения, формально существуют и в предельном случае среды с
нулевой вязкостью.
§ 2. Эккартовские течения
Рассмотрим, следуя Эккарту [100], акустические потоки в области со
следующей геометрией: звуковой пучок радиуса 7\ распространяется в
