Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
Более корректный расчет основан на применении уравнения политропы:
s-.go
Р = (Т _ 1) рте R^-1> f (VII.2.17)
которое, будучи разложенным в ряд до членов ~ р3,
*) Отраженная волна непосредственно наблюдалась на модели линии передачи
типа фильтра низких частот [136].
(VII.2.15)
§ 2. РАСЧЕТ ОТРАЖЕННЫХ ОТ РАЗРЫВОВ ВОЛН 185
имеет вид
Y - 1 соР° "г" Т Л
(s-s0). (VII.2.18)
Все дальнейшие преобразования вполне аналогичны тем, которые привели к
выражению (VII.2.И), с той лишь разницей, что приходится исключать лишнюю
переменную (s2 - Si) - величину скачка, который претерпевает энтропия при
переходе через фронт ударной волны. Это можно сделать, вычислив s2 - st
по формуле (В.2.8) (существенно использующей третье условие на разрыве) с
помощью уравнения состояния (VII.2.17):
Аналог выражения (VII.2.11) имеет вид
/ Г] V2_\ _ / _pi__________р2_
\ Со Со / \ ро Ро
а для суммарной отраженной волны получается следующая формула:
Сравнивая этот результат с результатом (VII.2.16) менее корректного
расчета, легко заметить, что структура самого выражения не изменилась.
Изменился лишь численный коэффициент, что никак не должно сказаться на
качественной стороне явления.
В дальнейшем (см. § 4 этой главы) нам придется сопоставить ряд
результатов, полученных как с помощью газодинамического подхода, так и
обычными методами
! 9Т2 _ зот + 57
т- 96
_57_ Г / _Pi_ \ 3 ( _Р2_ \ 31
|_\ ро / V ро / J
5та + 2у W
' U
ро
(Т +1)(5Т-3) 192
186 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМО ВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
нелинейной акустики. Поскольку при втором подходе затруднительно учесть
неизэнтропичность, мы будем всюду ниже пользоваться адиабатическим
уравнением состояния. Там, где оба метода приводят к одинаковым
количественным результатам, нужно говорить только об эквивалентности этих
методов, не забывая, однако, что сами результаты справедливы лишь
качественно.
§ 3. Постоянная составляющая как следствие
нелинейного самовоздействия волн
Формула (VII.2.16) может быть использована при решении задач о
распространении волн конечной амплитуды различных профилей при условии,
что волны достаточно интенсивны и пренебрежение эффектами высших порядков
неправомерно.
Поскольку нам понадобится выразить величину разрыва как функцию
пройденного волной расстояния, для
Рис. VII.3. Профиль пилообразной волны на входе системы.
качественного рассмотрения проблемы удобно взять волну симметричной
пилообразной формы. (В волне, гармонической на границе среды, амплитуда
разрыва есть более сложная функция координаты; см. рис. 1.11.)
Итак, пусть на входе системы х - 0 задается волна в виде симметричной
пилы, как это показано на рис. VII.3. Разрыв в такой волне формируется
при значении безразмерной координаты а = (e/cg) a>v0x =1, а при о _> 1 он
уменьшается по закону р2 (о)/р0 = -Pi (п)/р0 = = 2 (v0lc0)/( 1 о). С
помощью формулы (VII.2.16), в ко-
торой перейдем от параметра р к параметру v, с учетом
§ 3. ПОСТОЯННАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ
187
убывания пикового значения волны при распространении в среде, найдем
волну, отраженную от одной поверхности разрыва:
У = (т + I)2 '
со 3 (1 + а)3 \ со
Координата ст характеризует положение разрыва, формирующего отраженную
волну.
При расчете полной отраженной волны необходимо просуммировать волны,
отраженные от всех поверхностей разрыва. Поскольку ударные фронты
возникают только при значении параметра ст = 1 и образующиеся отраженные
волны разрежения распространяются к излучателю (последний следует считать
полностью проницаемым), передние фронты отраженных волн для каждого
периода возмущений имеют место только в области 0 ст <( 1.
В области значения параметра ст 1 отраженная волна асимптотически
стремится к нулю. Для наглядности эти рассуждения проиллюстрированы на
рис. VII.4, где отраженные волны рот/р0 представлены в зависимости от
координаты ст для следующих друг за другом периодических возмущений.
Стрелкой указано направление распространения отраженных волн, так что
первая из представленных на рис. VII.4 отраженных "ступенек"
соответствует тому периоду возмущений, который раньше достиг значения ст
= 1.
Участок распространения волны от ст = 0 до ст = 1, таким образом, все
время "питается" новыми и новыми отражениями от поверхностей разрыва, что
создает область разрежения вблизи излучателя, которая остается постоянной
до координаты х, соответствующей значению параметра о = 1, и
асимптотически спадает на бес*
Рис. VII.4. Суммирование волн, отраженных от различных разрывов,
приводящее к возникновению постоянной составляющей.
188 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
конечности. Отраженная волна на участке о <" 1 периодична с тем же
периодом, что и исходная пилообразная волна. Это позволяет просуммировать
отраженные волны, так что полное течение может быть представлено в виде
ряда:
Рот (Т+1)2
Ро
(Т + Н Ро .
-3
1+3-1- u г-' " ЯП Со J
(VII.3.2)
Заменяя выражение (VII.3.2) интегралом, поскольку при п стоит малый
параметр г0/с0, получим
