Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
* * 1 ~Г д *
со Ро . 4 Ро
(VII.2.4)
(-?!)¦]. (VII.2.5)
П2
Рш ".
Ро .
Т - 3 Ра , Т -3 Рщ 2 ро 4 ро
1 +
(VII.2.6)
П1
Pni f4 , т -3 Pi , Т -3 РП1 , - 1- Н о - Н 7 - +
Ро 2 ро 4 ро
(VII.2.7)
(Ро + Pi)K - иф) = (р0 + p2)(v2 - С/ф), (VII.2.8)
Pi + (Ро + PiX^i - ^ф)2 = Ря + (Ро + РэХ^-(VII.2.9)
182 ГЛ. VII. НЁЛЙЙЕЙЙОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛЙ
Первое из этих выражений позволяет исключить скорость С/ф в выражении
(VII.2.9), а затем избавиться в нем и от переменной р с помощью
адиабатического уравнения состояния, разложенного в ряд до членов порядка
- р3 включительно:
Р
(т
; Ро + соР Ч----------------
1)
2ро
Р2 +
(Г - 1) (Г -
I) с2
(VII.2.10)
После нескольких, простых по своей схеме, но довольно громоздких
преобразований получим искомый результат
3)
( _!l _ _Ч11 = (-El Е!.) .к il
V Со Со / \ Ро Р" / 1
+
5т2
90
(Т + И2 PiPz
32
Р о
(_PL__PМ (VII.2.111
\ ро ро ) '
Это выражение связывает параметры разрыва до элементарного
взаимодействия, т. е. до того момента, когда на разрыв наплывут две
ступенеобразные простые волны. После взаимодействия значения параметров,
разумеется, изменятся, однако связь между ними останется той же самой:
(Ч \ ( Pi Ра \ , Т-3 [/Pi V ( Р-г \
\ со Со / \ ро Ро ' 4 L\ ро / \ ро /
5т2-
ро ¦
30т+ 61
96
L )'_(?)
о / \ ро /
(Т + I)2 32
Pi
ро PiPa
Р,
о
(Ч. _iL)
V ро Ро '
(VII.2.12)
В качестве пояснения заметим также, что хотя на первый взгляд формально в
соотношениях (VII.2.И), (VII.2.12) удержаны только малые члены третьего
порядка малости, но структура этих соотношений такова, что при
последующих преобразованиях учтенные в них порядки малости повышаются,
так что удержание последующих членов разложения оказывается излишним.
§ 2. РАСЧЕТ ОТРАЖЕННЫХ ОТ РАЗРЫВОВ ВОЛН 183
Напишем, наконец, связь плотности и скорости для отраженной волны:
= (VI 1.2.13)
Ро Со 4 '
Знак минус здесь принят, поскольку отраженная волна распространяется в
сторону, противоположную направлению распространения взаимодействующих
простых и ударной волн. Соотношение (VII.2.13) принято линейным в силу
малости величины отраженной волны по сравнению с величинами других
возмущений. Отраженные волны, вообще говоря, должны нелинейным образом
взаимодействовать с гладкими участками профиля, однако такая постановка
задачи выходит за рамки принятых в настоящей работе приближений. Мы будем
рассматривать отраженные волны как невзаимодействующие друг с другом и с
бегущей волной.
Таким образом, полная система уравнений для решения задачи об
элементарном взаимодействии состоит из девяти соотношений (VII.1.1) -
(VII.1.4), (VII.2.6), (VII.2.7), (VII.2.И) - (VII.2.13). Обратимся
непосредственно к решению этой системы, считая заданными следующие
величины, характеризующие единичное элементарное взаимодействие: рп1,
рп2, pi и р2. Чтобы определить рот, вычтем выражение (VII.1.3) из
выражения (VII.1.4) и с помощью уравнений (VII.2.И) - (VII.2.13),
(VII.2.6), (VII.2.7) получим соотношение, в которое не входят
гидродинамические скорости взаимодействующих волн. Затем с помощью
уравнений (VII.1.1), (VII.1.2) исключим параметры р( и р2. При всех
преобразованиях опускаются малые члены, порядок которых р6 и выше.
Окончательно для отраженной волны получается выражение
j^ = (VII.2.14)
Ро 64 \ ро Ро / \ Ро ро / 4 '
из которого нетрудно видеть, что последняя действительно является малой
величиной четвертого порядка малости по сравнению с ударной волной.
Выражение (VII.2.14) полностью описывает задачу об элементарном
взаимодействии в принятых предположениях о порядках малости величин.
Обращаясь теперь
184 ГЛ. VII. НЕЛИНЕЙНОЕ САМОВОЗДЕЙСТВИЕ ВОЛН
к более сложной задаче о взаимодействии простых волн произвольной формы с
ударной волной, когда параметры, описывающие эти волны, являются малыми
величинами одинакового порядка малости (- р), следует вернуться к рис.
VII.1. Взаимодействие волн одинакового порядка малости сводится к
предыдущей задаче, если простую волну первого порядка малости разбить на
ряд "ступенек" второго порядка (~р2). Математически это означает, что
соотношению (VII.2.14) ставится в соответствие следующее дифференциальное
уравнение:
a(*zl) = - (л _ -?i)a
\ ро / Ь4 V Ро Ро / L \ Ро /
Интегрируя его, получим формулу
- = - АгУ^(-)3, (VII.2.16)
Ро 192 \ ро ро / ' '
позволяющую вычислить отраженную волну по известной величине "амплитуды"
разрыва *).
Таким образом, образующиеся в профиле волны разрывы можно рассматривать
как "генераторы" отраженных волн разрежения, распространяющихся в
обратном (по сравнению с исходной волной) направлении - к источнику
звука. При этом амплитуда суммарной отраженной от одного разрыва волны
является величиной третьего порядка малости. Но точно такой же порядок р3
имеет величина скачка энтропии, как это показано во введении, § 2.
Поэтому для строгого решения настоящей задачи принципиально необходимо
использовать неизэнтропическое уравнение состояния и третье условие
(В.2.3) на разрыве 198].
