Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Руденко О.В. -> "Теоретические основы нелинейной акустики" -> 4

Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.

Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики — М.: Наука, 1975. — 287 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskieosnovinelineynoyakstiki1975.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 81 >> Следующая

= x4r + S(di+ + . (B.1.7)
Здесь ц, ? - сдвиговая й объемная вязкости, х - коэффициент
теплопроводности.
Для получения волновых уравнений следует предположить, что
относительные возмущения исходного состояния являются малыми
величинами порядка р (где
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
И
р - некоторый малый параметр):
При этих условиях скорость v, с которой колеблются гидродинамические
частицы, есть малая величина порядка р по сравнению со скоростью звука.
Рассмотрим вначале среду без диссипации. Подставляя выражения р = р0 + р\
р = р0 р в систему (В.1.1)- (В. 1.3), получим
При переходе к уравнениям (В.1.9)-(В.1.11) мы всюду
нелинейными членами, содержащими произведения и степени величин р', р',
v. Тем самым мы ограничились рамками линейной акустики. Для сведения этой
системы к одному уравнению удобно ввести скалярную функцию Ф - потенциал
скоростей:
Исключая из (В.1.11), (В.1.13) переменные р', р', получим волновое
уравнение
Здесь через с% обозначено выражение ур0/Ро- Общим решением уравнения
(В.1.14) в одномерном случае является функция вида ф = ФДг - х/с0) + Ф2(?
-f- х/с0), описывающая произвольные возмущения Ф1( Ф2, первое из которых
есть волна, распространяющаяся без изменения
(В.1.10)
(В.1.11)
(В.1.9)
пренебрегаем малыми членами - р11, где п >1, т. е.
V = уф.
Уравнения (В.1.9) и (В.1.10) дадут при этом
(В,1.12)
= |г + РоАф = 0.
(В.1.13)
(В.1.14)
12
ВВЕДЕНИЕ
своей формы в положительном направлении оси х, второе - в отрицательном
направлении. Таким образом, константа с0 имеет смысл скорости звука.
В линейной акустике выполняется принцип суперпозиции: волны, бегущие по
среде, никак не влияют друг на друга. Из (В.1.12)-(В. 1.14) вытекает
также, что волновому уравнению удовлетворяет любая из величин V, р', р',
ф и между ними существует простая линейная связь:
- = 2-(В.1.15)
Со ро ^0 v '
Если необходимо проследить за поведением возмущения, бегущего только в
одном направлении (например, вправо), то следует рассматривать уравнение
первого порядка:
? + = (Б.1.16)
получающееся из (В.1.14) выделением дифференциального
оператора + с0 . Наблюдать за возмущением удобно,
двигаясь вместе с волной со скоростью с0, т. е. переходя к сопровождающей
системе координат
x = х = х. (В.1.17)
Выполняя замену переменных, получим простое уравне-
ние
? = 0, (В.1.18)
решением которого является стационарная (не изменяющая своей формы при
распространении) волна: ф = Ф (т). В силу простоты уравнений и
наглядности сопровождающих координат, их удобно использовать и в
дальнейшем при рассмотрении однонаправленных волн в нелинейных,
диссипативных и других средах.
Для вязкой теплопроводящей среды можно получить аналогичное уравнение.
Предполагая возмущения малыми и отбрасывая нелинейные члены, преобразуем
систему
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
13
(В 1.4)-(В.1.7) к виду
Vp' + т] Av + gra(i div v, (В.1.19)
+ Р0 div ^ = О, (В.1.20)
(В.1.22)
Положив в последнем уравнении Т' = р' и восполь-
S
зовавшись (В.1.13), (В.1.12), выразим
(В.1.23)
Подставляя это выражение в форму (В.1.21) и используя уравнение состояния
идеального газа для вычисления
Как нетрудно заметить, в процессе вывода (В.1.24) были использованы
соотношения, справедливые для волн в идеальной среде. Такой приближенный
подход возможен только в случае, когда вязкость среды слабо влияет на
распространение волны; иными словами, когда затухание волны мало на
расстояниях порядка длины волны (-А). Предполагая движение безвихревым
(rot v = 0), с помощью (В.1.24) приведем (В.1.19) к виду
Po-iJr-cgVp' + bAti,
(В.1.25)
где
Ь = ? + -^-т] + к
(В.1.26)
14
ВВЕДЕНИЕ
Из уравнений (В.1.25), (В.1.20) можно исключить, например, переменную р'
и получить волновое уравнение для v:
Ж,-^-Г-ЙГЖД* = 0- (В-1-27)
Если искать решение этого уравнения в виде бегущей плоской волны: v
= у0-е{1-ы-кх\ то между волновым
вектором и частотой получим связь:
<В-''28)
где мнимая добавка, характеризующая затухание звука, является малой
величиной. Для волны, бегущей вправо, в дисперсионном уравнении (В.1.28)
следует взять знак плюс и тогда
v = оа ехр
Ый2
х
¦ехр | г'со ^2 со
. (В.1.29)
Выражение (В.1.29) описывает монохроматическую волну, амплитуда которой
уменьшается по закону
/
- к0 ехр -
Величина 0 2с*р0
а = ~^т~~ (вл-3°)
2соРо
называется коэффициентом затухания звука. Поскольку все выводы получены
при условии малости поглощения на длине волны (это предположение
физически вполне оправдано), отношение " <sg: 1.
(r) 2соРо
Одномерное уравнение первого порядка, описывающее только правую волну (в
частности, (В. 1.29)), имеет вид
dv ^ _ dv Ъ d2v
Переходя к сопровождающим координатам (В.1.17), найдем
- = -- - /R 1 Ч9\
dx о"зп • (В. 1.32)
dt +С°аж 0"2n (В.1.31)
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
15
Это - параболическое уравнение теплопроводности. Наличие затухания
приводит к тому, что его периодическое решение (В.1.29) не является
стационарной волной.
Общее решение уравнения (В. 1.32) при заданном начальном условии v (0, т)
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 81 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed