Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
случае, если волны не плоские). Присутствие же неоднозначности
соответствует образованию ударной волны -
8
ВВЕДЕНИЕ
разрыву в первоначально гладком профиле, и дальнейшее изучение его
эволюции должно, вообще говоря, проводиться в соответствии с теорией
ударных волн [1-5].
Однако в силу математических трудностей, связанных с решением нелинейных
уравнений в частных производных, дальнейшее сближение двух указанных
областей протекало крайне медленно. Бурный прогресс произошел недавно в
связи с появлением источников мощного ультразвука и когерентных
электромагнитных волн [6, 10], что вызвало всеобщий интерес к нелинейным
волновым процессам и стимулировало появление большого числа теоретических
и экспериментальных работ. В этот период и сформировалась, в частности,
промежуточная область механических волновых процессов - нелинейная
акустика. Большой вклад в ее развитие внесен советскими учеными.
В настоящее время уже имеется несколько монографий [6-8], включающих в
себя обзор работ [25-461, посвященных так называемому второму приближению
теории волн конечной амплитуды. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Решение Римана, как уже говорилось, есть точное решение системы уравнений
Эйлера. Но гидродинамические уравнения без учета вязкости и
теплопроводности - и это известно давно - плохо отражают свойства
реальных сред (достаточно вспомнить парадокс Эйлера - Далам-бера о
равенстве нулю суммарной силы, действующей на обтекаемое тело). Точно так
же римановское решение унаследовало все недостатки исходных уравнений.
Оно несправедливо в области неоднозначности, и, кроме того, реальную
ценность представляет не само решение, а его разложение в ряд по числу
Маха. Это связано с необходимостью учета диссипативных процессов в
соответствующих членах разложения.
Такой учет был сделан в работах, посвященных второму приближению, что
позволило установить ряд интересных эффектов, как-то: законы нарастания и
спада гармоник, зависящие от величины акустического числа Рейнольдса Re,
существование области стабилизации волн и др. Неоднозначность в профиле
уже не возникает благодаря наличию диссипации, которая приводит к
образованию ква-
8 1. ЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
9
зиударного фронта конечной ширины и в дальнейшем - к его рассасыванию.
Все эти результаты могут быть получены на основе единой точки зрения -
всестороннего анализа нелинейного уравнения Бюргерса [47], которое
допускает преобразование к линейному уравнению типа диффузии и,
следовательно, решается точно [48, 49].
Идею применить уравнение Бюргерса для объяснения поведения волн умеренной
амплитуды можно встретить в работах [50, 51], однако впервые оно было
строго получено в радиофизике при изучении волн в нелинейных линиях
передачи [52]. Суть асимптотического метода работы [52] заключается в
предположении медленности изменения формы профиля в сопровождающей
системе координат на расстояниях порядка длины волны. Этот метод был
вскоре применен к проблемам нелинейной акустики; уравнение Бюргерса
удалось получить из системы гидродинамических уравнений, учитывающих
вязкость и теплопроводность среды [53]. Дальнейшие успехи теории связаны
с обобщением уравнения Бюргерса на цилиндрически- [54] и сферически-
симметричные волны [55], на случай среды с релаксацией [56], на слабо-
неодномерные задачи нелинейной дифракции ограниченных пучков [57] и,
наконец, на задачи более высоких приближений [58]*).
i Достаточно мощный математический аппарат, разрабатывавшийся в течение
ряда лет академиком Р. В. Хохловым и учениками [52-58], все еще, к
сожалению, слабо отражен в имеющейся монографической литературе и,
следовательно, мало известен широкому кругу научных работников. Авторы в
своей книге попытаются хотя бы частично восполнить этот пробел.
§ 1. Линейная акустика.
Уравнения и границы применимости
При изучении произвольных, в том числе и волновых, движений сплошных сред
исходной системой уравнений
*) Классификация этих и других работ указанного направления проведена в
обзоре [132].
10
ВВЕДЕНИЕ
являются уравнения Эйлера:
+ (i>V)t>] = - Vp, (ВАЛ)
dv
~dt
+ div pv = 0, (B.1.2)
P = P (p). (B.1.3)
справедливые для идеальной среды. Система является полной и состоит из
уравнения движения (В.1.1) в форме Эйлера, уравнения непрерывности
(В.1.2) и уравнения
состояния (В.1.3), которое будем записывать в виде
Р / Р V " ср
- = j 1 гДе Т = для газов и эмпирическая кон-
. . ( дс2\ Ро
станта Т = 1 + ( ^) Для конденсированных сред.
В тех случаях, когда требуется дать математическое описание вязкой
теплопроводящей среды, функций v(r, t), p(r, t), p(r, t), характеризующих
распределение скорости, плотности и давления, уже недостаточно.
Необходимо ввести дополнительные параметры s(r, t)- энтропию и T(r, t)-
температуру и описывать среду системой уравнений Навье - Стокса:
р \Чг + = - Vp + t] Av + + Т-) grad div v'
(В.1.4)
4^- + divpH = 0, (В.1.5)
p = p(p,s), (В.1.6)
pJ1 [¦?- + №"] =
n /dv. dv,. p dv,\4
