Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.29). Уравнение второго приближения имеет вид
дг,(2) ь d*v(i) _ 8 ,,m dvW Ш2 11
дх 2с"р0 'с* дх ' (".2.1)
дг,(1) со ж
где кВ)-- -2-sin 2сот. Ищем решенье (II.2.1)
виде = А (х) sin 2ют. Для амплитуды А(х) получает-[ обыкновенное
дгфференциальное уравнение
в
ся
§ 2. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
47
Граничное условие А (х = 0) = 0 соответствует отсутствию второй гармоники
на входе в систему. Решая (II.2.2), найдем
у(г) - etl^R- (е~2хх - е-4ах) sjn 2сот. (И.2.3)
На рис. II.1 изображена кривая, иллюстрирующая ход отношения А21А10 с
координатой х. Амплитуда второй гармоники вначале нарастает по линейному
закону вследствие нелинейной перекачки энергии из волны основной
Рис. 11.4. Динамика генерации второй гармоники при малых числах
Рейнольдса.
частоты, а затем начинает убывать за счет преобладающего влияния
диссипативных процессов.
Случай больших чисел Рейнольдса (Re > 1) представляется наиболее
интересным. Однако здесь пользоваться методом возмущений нельзя,
поскольку малый параметр - диссипативный коэффициент b - стоит при
старшей производной. Здесь плодотворным оказывается путь поэтапного
рассмотрения процесса, который будет строго обосновап в следующем
параграфе.
На первом этапе, когда поглощение мало, можно считать волну слабо
отличающейся от простой и пренебречь правой частью уравнения Бюргерса:
dv б dv л. /тт о
У^ = 0- (IL2-4)
о
Составляя уравнение характеристик, получим следующие интегралы:
v = (\, т-1-~vx = Сг. (II.2.5)
со
48 гл. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
Определяя связь между константами Су, С2 по граничному условию v (х - 0)
= v0sin сот, найдем искомое выражение
которое уже рассматривалось в гл. I, § 5.
На втором этапе, когда решение становится разрывным, его получают с
помощью "сшивания" формул, описывающих структуру фронта и пологих
участков профиля. Фронт стационарной ударной волны можно определить как
решение "стационарной" (не содержащей производных по х) части уравнения
(II.1.10). Последнее принимает вид
Во втором приближении фронт звуковой волны проводится по равенству
площадей и движется со скоростью с0. Согласно (1.4.5) в этом случае Му =
- М2, т. е. для урав-ния (II.2.7) надо поставить симметричные краевые
условия на бесконечности:
v (ют = оо) = г^р, v (сот = - оо) = - г^р. (II.2.8) Соответствующее
решение уравнения (II.2.7):
"расшифровывает" структуру того самого скачка, который в гл. I
трактовался просто как математический разрыв. На рис. II.2? сплошными
линиями изображено решение (И.2.9) и прямая v/vv - - сот. Складывая эти
две функции (штриховая линия на рис. II.2), можно получить кривую,
которая очень похожа на профиль одного периода искаженной волны. Для того
чтобы еще больше усовершенствовать эту качественную модель истинного
решения уравнения Бюргерса, учтем "затухание" амплитуды разрыва г?р
согласно формуле (1.5.11):
V
- th (е Re-сот)
(II.2.9)
V,
Р
V
1
?-сот + л th ("3-> -я сот я, (II.2.10)
vo 1 + а
§ 2. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ
49
1 "{- 5
где S = яе Re - безразмерная ширина фронта ударной волны. Замечательно,
что сконструированное выражение
Рис. II.2. Результирующий профиль одного периода искаженной синусоиды
(штриховая кривая) как результат сшивания стационарного решения (II.2.9),
определяющего структуру фронта, с пологими участками профиля пилообразной
волны.
Рис. II.3. Волновые профили, описываемые точным решением (II.2.10) при
различных значениях Г = (2е Re)-1.
(II.2.10) есть точное решение уравнения (II.1.10), в чем можно убедиться
непосредственной подстановкой.
На рис. II. 3 изображены два профиля при различных Re, построенные с
помощью (II.2.10). В силу простоты этой
50
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
формулы ее легко разложить в ряд Фурье:
оо
1
sin />шт
(II.2.11)
6 Re
Выражение (II.2.11), известное как решение Фея [60], позволяет проследить
поведение гармоник в области стабилизации волны, т. е. там, где
нелинейное "укручение" профиля и его диссипативное сглаживание
относительно уравновешивают друг друга. Решение Фея описывает медленное
затухание гармоник, амплитуда которых при сг 1 уменьшается приблизительно
по закону е~пхх (п - номер гармоники), а не е~п2ах, как ото следует из
линейной теории, что связано с "подкачкой" энергии от низших гармоник к
высшим.
Решение (II.2.10) (а следовательно, и (II.2.11)) теряет смысл, когда
толщина 6 ударной волны занимает фазовый интервал - л. Эта формула
описывает процесс именно при малом 6 (большие Re). В предельном случае Re
-> оо выражение (II.2.10) приводит к пилообразной волне (1.5.13),
подробно рассмотренной в гл. I.
На третьем этапе, когда энергия волны уменьшилась настолько, что стали
преобладать диссипативные эффекты, волна снова превращается в
синусоидальную - главным становится первый член ряда. (II.2.11):
Интересно, что амплитуда этой волны от v0 не зависит.
§ 3. Решение уравнения Бюргерса для периодического возмущения (строгое
решение) [53] *)
Найдем периодическое по т при любом значении х решение уравнения (II.
