Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
дх ро ' дх дх2 ' '
^- + ( Р. + Р')? + ^ = о. <11.1.6,
Поскольку в этой главе рассматриваются волны, бегущие в положительном
направлении оси х, следует перейти к сопровождающей системе координат (В.
1.17). При этом необходимо учесть, что искажения профиля волны, вызванные
как диссипацией, так и нелинейностью, малы на расстояниях порядка длины
волны и процесс должен описываться функцией вида Ф (р,г, г). Это разумное
предположение вполне согласуется с анализом распространения волн в
идеальной нелинейной среде (см. гл. I) и в неидеальной линейной среде
(см. введение, § 1).
44 ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
В соответствии с заменой (В. 1.17) имеем
Поскольку координата х - медленная, мы считаем, что каждая производная
dldx увеличивает порядок малости на единицу (если производная dvldx ~ (I
- малая величина первого порядка малости, то dvldx является величиной
второго порядка малости (~ ц2)). Выполняя замену переменных, находим
(1 + .El_21) *1 =
V ро Со I дХ
Эта система может быть сведена к одному уравнению. Для этого достаточно
уравнение (II. 1.9) умножить на с0, сложить с уравнением (II.1.8) и
заменить во всех членах второго порядка малости р'/р0 на v/c0. Члены
первого порядка малости при этом взаимно уничтожаются. Таким образом,
приходим к уравнению, называемому уравнением Бюргерса [47, 52]:
Обратная подстановка v/c0 = р7р0 приводит к тому же уравнению для
приращения плотности р'.
Уравнение Бюргерса (II.1.10) позволяет детально исследовать различные
эффекты, возникающие при распространении волн в диссипативных средах с
квадратичной нелинейностью. Теория второго приближения, которой посвящены
работы [25-46], с помощью уравнения Бюргерса может быть изложена в рамках
единой точки зрения.
Предлагаемый подход свободен от ограничений на величину акустического
числа Рейнольдса. Упрощая исходную систему гидродинамических уравнений,
мы сохраняем как нелинейные, так и диссипативные члены,
Ъ d2v со
Ро \ Со >
§ 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА
45
соотношение между которыми в рамках получающегося одного укороченного
уравнения может быть произвольным. Как было показано во введении
(В.1.36), их относительное влияние на процесс искажения волны можно
охарактеризовать числом Re, которое не отличается от общепринятого
гидродинамического числа R = vd/v, где v - скорость потока, d -
характерный размер и v = = Vpo - кинематическая вязкость; только в
качестве скорости берется амплитуда скорости смещения, в качестве
характерного размера - длина волны и, помимо сдвиговой вязкости,
учитываются теплопроводность и объемная вязкость, т. е. берется
диссипативный коэффициент Ь.
Итак, акустическое число Рейнольдса имеет вид
Re== = (II.l.ll)
4jt6/po oco бсо 4 '
При значениях Re 1 "вязкие" члены преобладают над нелинейными: большая
диссипация приводит к поглощению волны раньше, чем успеют накопиться
нелинейные эффекты. Напротив, при значениях Re 1 преобладают нелинейные
эффекты и распространение волн по своему характеру близко к
распространению волн в идеальной среде.
Важно отметить, что в диссипативной среде не существует связей типа v (р)
или р (г;), характерных для простой волны.
В работе [53] были предложены приближенные "самосогласованные выражения",
дополняющие разложения римановских решений (1.4.4) членами второго
порядка малости, учитывающими наличие диссипации:
v _ ?' I Т 3 / р' \2 Ъ dp' д л <")\
^ = (II.1.13)
ро Со 4 \ Со / 2с(r)р0 д% v '
Как показывают формулы (II.1.12), (II.1.13), связь между параметрами
определяется не только их мгновенными значениями, но и первыми
производными, т. е. является нелокальной. Если профиль достаточно
пологий,
46
ГЛ. II. ВЯЗКАЯ ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА
то dldx мала и связь параметров почти такая же, как в простой волне.
Напротив, при наличии крутых скачков didх велика, диссипация сказывается
сильно и волна существенно отличается от простой.
Таким образом, выражения (II.1.12), (II.1.13) представляют собой
обобщение понятия простой волны на ди-сипативные среды (иногда говорят о
"квазипростых" волнах). Легко убедиться, что при подстановке любого из
этих выражений в любое из уравнений (II.1.8), (11.1.9) получается
уравнение Бюргерса.
§ 2. Решение уравнения Бюргерса для периодического возмущения
Уравнение (II.1.10) замечательно тем, что оно может быть линеаризовано и
приведено к виду обычного уравнения теплопроводности. Тем самым имеется
возможность проследить за распространением начального возмущения
произвольной формы. Однако анализ общего решения уравнения Бюргерса
сравнительно сложен. Этим мы займемся в следующем параграфе, а здесь
рассмотрим, как ведет себя возмущение, заданное на входе в виде
гармонической волны, при различных значениях числа Рейнольдса. Будем
пользоваться приближенными методами.
При малых Re 1, когда влияние нелинейного члена
мало, уравнение Бюргерса можно решать методом после-
довательных приближений. Решение уравнения первого приближения,
учитывающее затухание основной частоты, нами уже рассматривалось (В.
