Теоретические основы нелинейной акустики - Руденко О.В.
Скачать (прямая ссылка):
v - ,А , - >, >, sin тот sm гасот =
(1 4- с)2 ^ nm
x ' • ' n=i m=l
о 2 9
^n VI 1 Jr^ Vf.
= (1 + a)a = "з- + gj* 7 (1-5.18)
ИЛИ
p En
" "(1 + a)*
(1.5.19)
40 гл. I. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙЛАМПЛИТУДЫ
Уменьшение энергии волны на этапе cr 1, описываемое формулой (1.5.19),
связано с возникновением ударного фронта. Отметим, что принятие нами
условия на разрыве (1.4.2), дополняющего уравнения Эйлера, по существу,
означает учет неидеальности среды.
Аналогичным образом можно исследовать, как изменяется средний импульс
единицы объема:
1 = (Ро + p')v = р0У + -j-v2. (1.5.20)
СО
2-
Величину 2nv = \ v (сот) d (сот) удобно интерпретиро-о
вать как площадь, заключенную между кривой v (сот)
Рис. 1.13. Изменение формы одиночного треугольного импульса.
и осью сот. Поскольку во втором приближении положительный и отрицательный
полупериоды волны искажаются одинаковым образом, а фронт проводится по
равенству площадей, v = 0 и в области 0 < а < 1 (см. рис. 1.8), и в
области а > 1 (см. рис. 1.10), / = (Ё1с0).
Все сказанное в этом параграфе относилось к поведению периодического
сигнала в нелинейной среде, гармонического на входе в систему. В
заключение рассмотрим процесс распространения одиночного возмущения.
Пусть профиль начального возмущения имеет вид равнобедренного
треугольника ABC, изображенного на рис. 1.13. Разрыв в нем сформируется в
точке с = сот0/2. Легко видеть, что в области 0 < о < cdt0/2 площадь
профиля не изменяется и равна сот0/2. Когда импульс
§ 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН РИМАНА
41
пройдет путь а = cdt0/2, его передний фронт СВ займет положение СВ', а
затем при некотором а ф сот0/2 - положение СВ".
Как мы уже знаем, вместо СВ" реализуется разрыв ED, проведенный так,
чтобы площади треугольников CEF и FDB" были равны. Но это означает, что
равны и площади треугольников ABC и ADE, т. е. в низшем приближении имеет
место закон сохранения импульса. Образование разрыва, следовательно,
приводит к расплыванию возмущения и "размазыванию" его импульса по всей
среде.
Из условия равенства площадей ABC и ADE: -(tm)п =
и
1 1 АЕ2
~ - AE2tga=можно установить формулы,
описывающие расплывание при s^>cdt0/2:
АЕ = т.У-L + lk А-5'21"
и уменьшение амплитуды разрыва ED ~ АЕ tg а:
ED = 1 . (1.5.22)
,/ 1 а v '
У 2 СОТО
Наконец, найдем выражение для энергии возмущения, приходящейся на единицу
площади его фронта:
00 2 °°
Е = Ро ^v*dx = P-^pL J сот). (1.5.23)
- СО -оо
Поскольку (vlvо)2 ф 0 только на отрезке АЕ, интеграл
берется в пределах от - сotojA-Ь 3/cdt0 ф- сот0 до cdt0. После несложных
выкладок придем к выражению
(1.5.24)
i/I а
V 2 + сот"
которое показывает, что закон убывания энергии более медленный, чем для
периодической волны (см. (1.5.19)), несущественно зависит от длительности
начального возмущения.
ГЛАВА II
ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ КОНЕЧНОЙ АМПЛИТУДЫ В СРЕДАХ БЕЗ ДИСПЕРСИИ (ВЯЗКАЯ
ТЕПЛОПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА) § 1. Вывод уравнения Бюргерса
Теория распространения волн конечной амплитуды в вязкой теплопроводящей
среде является более сложной по сравнению с теорией распространения волн
в идеальной среде. При наличии диссипации энергии уравнение состояния
среды, вообще говоря, нельзя считать адиабатическим. Вместе с тем
известно, что даже при переходе через ударный фронт волны энтропия
претерпевает скачок третьего порядка малости (В.2.8). Это дает
возможность линеаризовать уравнение переноса тепла (В.1.7) и привести его
к виду (В.1.22). Иными словами, мы считаем, что диссипативные процессы
линейны или, что более строго, диссипативные коэффициенты ?, ц, я
являются (наряду с числом Маха) величинами первого порядка малости (~ р).
В этой главе рассматриваются вопросы второго приближения. Поэтому при
упрощении исходной системы уравнений следует сохранять члены до второго
порядка малости (~ р2) включительно.
Приближенное уравнение состояния примет вид
Используя несложные преобразования, которые во введении привели к формуле
(В. 1.24), найдем
р' = с*р' +4-(|?)sp'2_x(.A--_L)divn. (II.1.2)
§ 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА
43
Первые два члена в правой части этого уравнения описывают адиабатическое
изменение давления и могут быть вычислены при помощи уравнения
изоэптропы:
С'-1'3"
Третий член учитывает неадиабатичность процесса. Поскольку он содержит
только коэффициент х, изменение энтропии будет происходить лишь за счет
теплопроводности.
Предполагая движение потенциальным, после подстановки выражения (II.1.2)
в уравнение движения (В.1.4) приведем последнее к виду
p[4f + 4-Vi;2] = -c"VP'- Vp'2 + bAv. (II.1.4)
Совокупность (II.1.4) и (В.1.2) образует полную систему уравнений для
решения проблемы во втором приближении. Эта система записана в удобной
форме, однако содержит лишние члены, порядок малости которых выше чем р2.
Отбрасывая их и переходя к одномерной записи (так как мы интересуемся
плоскими волнами), получим
, . dv , dv
(Ро + Р) ~аГ + Роу ai- -
¦2 д,;/ (T--I)Cq , dp' . , дЧ ,тт , г = - со~Д-----------------Р Ч-
+ 0-,- , (11.1. Л)
