Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
- 10 -
ныв по координатам):
->t і * Г ' (1.7)
или для компонентов скорости
TFA^ ^ ^ ^ J T>fc ' (1.8)
где р -плотность среды, р - избыточное давление (давление сил упругости) или акустическое давление.
Полностью определить колебательный процесс в жидкости можно, если известны колебательная скорость ^ (её составляющие ITx, ,
, ) и давление в среде р • Для этого необходимо к уравнениям Эйлера добавить уравнение непрерывности
^ (1.9)
где J^PVp0 - относительное изменение плотности, P0 -плотность среды в состоянии покоя, _р - плотность среды, претерпевшей упругую деформацию.
Используя для адиабатического процесса уравнение состояния рs |(р)и предполагая за счет малости смещения частиц жидкости пропорциональность избыточного давления относительному изменению плотности, имеем равенство
Р^Эе? , (ІДО)
где эб - модуль объемной упругости, т.е. выполняется закон Tpsa . Беря производную по времени от (1.10)
эр, г "3B^ и П0ДСТОВЛШЇ в (I«9)t имеем
^?-xA^O. (ІДІ)
Таким образом, имеем два уравнения (1.7) и (І.П), связывающие звуковое дэвление и колебательную скорость и полностью описывающие звуковую волну.
Для получения одного уравнения удобно ввести вспомогательную функцию Ф , называемую потенциалом скорости:
- II -
Подстановка (ІЛ2) в (1.7) дает, очевидно
P - 9^S ' (ІЛЗ)
Подставляя (1.13) в (1•1I)9 о учетом (I.I2) получим
ЇІЇ + *аіг3п*іЩ*0 , Щ +f Луз1™""*!= О.
Учитывая, что Л-Vа- = — + ^ + —t и с -- /f
получаем волновое уравнение:
Ш-С*АЧ>*а. (I.I5)
Волновому уравнению (I.15) удовлетворяет как 2г , так и р • Применив операцию <fi-ctd к (I.15), получим
Jt^rajiP- СгА$га4ф^0 , а так как Г^-д^ЛУ\ то
для колебательной скорости
э-^2 (1Лв)
Производя дифференцирование (I.15) по , получим
7>*2 TF *>t 17 , но из (I.I3) P=/^ , и
для звукового давления имеем
|?-?'А/>-0. (I.I7)
В практике звуковое давление и колебательная скорость могут иметь различную зависимость от координат, что приводит к необходимости трансформации волнового уравнения в удобную форду, исходя из типа задачи, а именно:
1. Звуковое давление и колебательная скорость зависят только от одной координаты, например & . Тогда имеем случай плоских волн и волновое уравнение для имеет вид
2. Задача имеет цилиндрическую симметрию, т.е. P ж ІҐ зависят от расстояния от некоторой оси. В этом случае волны
- 12-
носят название цилиндрических, и волновое уравнение имеет вид
(I.I9)
3. Распределение P ти V зависит от расстояния от некоторой точки (центра), т.е. задача имеет сферическую симметрию. В общем виде волновое уравнение в сферических координвтвх имеет вид
В силу независимости Ф от направления при центральной симметрии
TTsT^e і oS ат>&/ гчш ->4>г
в (I.I5) имеет вид
, (1-20)
В случае гармонического процесса Ц/ ^ ^ волновое уравнение приобретает вид уравнения Гельмгольца
Ар + ьгр^о 9 ьгг+ісьіг=о f ГДе /:=<% -
волновое число. Для такого процесса в плоской волне потенциал имеет вид
в сферической , 4. Kuft-IZF) *
Постоянная ~^f~ определяется типом источника.
- 13 -
П. ПРОХОЖДЕНИЕ ШЮСІЮЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ЖИДКИХ СРЕЩ. ОСОБЕННОСТИ ОТРАЖЕНИЯ ОТ СРЕЩЫ С ПОТЕРЯМИ И НА ГРАНИЦЕ ЖИДКОСТЬ-ТВЕРДОЕ ТЕЛО. СЛУЧАЙ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ
Рассмотрим случай падения плоской волны под углом O к нормали к поверхности раздела двух сред, характеризуемых, соответственно, плотностями и скоростями звука д ,с и рА , с 4 (рис.ПЛ). Пусть амплитуда падающей волны Л »1# осэь - плоокооть падения, тогда падающая волна запишется в виде (опуская временнрВ множитель е"ш± ):
а отраженная волна -
где "V - коэффициент отражения, для волнового числа к-^/с справедлива связь kx-ks^o , VC^-kcosQ , Vce~ \<zx-^ Vc^ ^ Полное поле в верхней среде
Поле прошедцпей в нижнюю ореду волны
гдеVx-^Ic1) yf - коэффициент прозрачности; 8" ^ - угол преломления; Mf , V и 9, определяются из граничных условий на границе раздела сред при 2 =0, которые требуют непрерывности давления р и вертикальной составляющей колебательной скорости
(.?=? или J- iE = .
(2.3)
Подставив (2.1) и (2.2) в (2.3) , имеем при 2 =0 для первого из граничных условий
(2.4)
Так как левая часть не зависит от ос .то должно выполняться условие k, ^Q1 г: к Si4VvB 9 откуда следует известный закон преломления. Данное равенство выражает равенство фазовых скоростей распространения волн вдоль границы раздела, т.е. проекции волновых векторов на ось эс одинаковы. Иначе закон преломления записывается в виде Sin8=-nS\h B1 f где n = ~ = - показатель преломления. 1
Таким образом, уравнение (2.4) принимает вид
>\ +V";= ЛлГ. (2.5)
Подстановка соотношений (2.1) и (2.2) во второе граничное условие (2.3) дает при 2. «0:
5>45^e-0-V^ TiJ)C^B1-W . (2.6)
Приняв для удобства сокращение го* ^Vj) о учетом SiKO=:if\StV?0lf из соотношений (2.5) и (2.6) получим выражения для коэффициентов отражения и прохождения:
2тСос>в _ .
ГЦ Л
(2.7)
Иначе коэффициент отражения можно записать в виде
