Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
f^P1 Г (12.12)
Как уже указывалось, при данном рассмотрении плотность J> и объемная упругость считаются функциями координат:
В случае, когда плотность и упругость зависят только от координаты у , имеем, очевидно,
где J - едшшчный вектор по оси у .
Для трехмерной задачи уравнения (12.11) и (12.12), вводя оператор Лапласа V , запишем в виде
- 123 -
?T -at2 j> г# s ґ (12.13)
" Dt1 J (12.14)
Для двумерной задачи на плоскости, учитывая скалярное произведение ( J , 7P ), получим для дввления
¦Ъгр
t% ^ ^ f Ux» + Т&Н°>
it* f* т>у f Wx» ^ ^ (12.15)
для компонент скорости
Tt* f \ •^X.1 T с/г. J - U>
(12.16)
1>*г f{3x? * JyIJ=O. (I2.I7)
Если искать решение уравнения (12.15) в виде
то подстановка разделяет переменные, и мы будем иметь две уравнения
Здесь введено обозначение к с со JlE , присієм величину к* к (у) можно условно назвать переменным волновым числом, равно как
? г <?) = yQfc также условно можно назвать переменной скоростью распространения. Точное решение задачи требует интегрирования записанных уравнений. В зависимости от вида функций f(jf) ж
- 124 -
либо результат может быть получен в виде известных функций, либо это приведет к необходимости численного интегрирования. Некоторые решения такого типа уравнений наш уже были рассмотрены ранее для неоднородного слоя.
Возвращаясь к уравнению (12.15) будем искать его решение (интеграл) в виде
Г dJ ' (12.18)
где А(х,у) описывает изменение амплитуды волны в пространстве,
KoW(Xity) - фаза волны в точке Под K0 = подразуме-
вается фиксированная величина, соответствующая точке C^o, у0) . Очевидно, придав W(X1Jf) определенное значение 1лґ(х,у)-?o»s.t f получаем поверхность г^=г ^(octt) , на которой фаза постоянна, т.е. волновой фронт.
Для выяснения^ физического смысла фазовой функции W(*>#), рассмотрим перемещение участкэ фронта на пути /Sf . На протяжении dS фаза изменится не * d Sf , При пробеге пути S> общее изменение фазы будет равно
S S
Отсюда становится ясной связь между предполагаемым решением (12.18) и лучевой картиной: если (12.18) есть решение (12.15), то согласно сказанному можно построить волновые фронты №(х,у)~ const , а проведя к ним ортогональные траектории, и форму лучей.
Фазовая функция равна
Выяснил, пригодно ли в действительности выражение (12.18) в качестве решения уравнения (12.15)•и, если оно пригодно как приближенный интеграл, то при каких физических условиях.
Для этого подставим (12,18) в уравнение (12.15) и проведем необходимые диффереіщиальїше операции. В левой часта уравнения получится комплексная величина, так как производные комплексные:
-125-
Тї = Є ( Т5Г - lKo WJ
аналогично и rj_y" и .
Действительные и мнимые части уравнения (1?.15) должны в отдельности равняться нулю. Таким образом, опуская промежуточные вычисления, ..олучим дна уравнения:
(12.19)
2 W 1?* -?? ^ " ' (12.20)
Дашше уравиоиия содержат в себе треооваїгая к функциям и
W(x,y) , которым они должны удовлетворять, чтобы (І2Д8) являлось точным решением (12.15). В случае неточного выполнения этих условий величина получающихся неравенств, может, очевидно, служить мерой пригодности (12.18) в качестве приближенного решения. Ясно, что чем точнее выполняются условия (12.19) и (12.20), тем точнее (12.18) соответствует решению уравнения (12.15).
Анализ соотношения (12.19) позволяет сделать следующие заключения:
I. Видно, что для высоких частот K0-> оо сразу имеем уравнение волнового фронта
- 126 -
Это уравнение носит название двухмерного уравнения эйконала, строго выполняющегося только на бесконечно высокой частоте. Для трехмерной задачи в уравнение будет входить еще и производная (Щ}2 •
2. Для приближенного выполнения уравнения эйконала на конечных частотах наибольшая по абсолютной величине производная W(jC,#) в (12.19) должна быть по порядку величины равной коэффициенту преломления ^C*»$)
W>-a- •(12.22)
3. Из выражения (12.19) видно, что членом в квадратных скобках можно пренебречь по сравнению с остальными, если(при переходе от k Q к длине волны звука 0) выполняются неравенства
At(^)'W')f (12<24)
*~ъ ^ Й * (12.25)
Анализ уравнения (12.20) показывает, что для его удовлетворения необходимо, чтобы наибольшие его члены взаимно компенсировались. Это возможно, если, во-первых, их знаки противоположны, и, во-вторых, их абсолютные величины по порядку равны:
На основе неравенства (12.23) это означает (домноким не )
Использовав требоваїше (12.22) re t Из (12.27) полупил
Х01ЛГМ^<аг, (12.28)
Для морских условий и тогда (12.28) можно переписать
в виде
A0W11= , (12.29)
д S
- 127 -
т.е. первая производная от ІЛҐ по координате на длине волны не должна заметно изменяться. Данная производная определяет кривизну звукового луча. Следовательно, условие (12.28) выполняется тем точнее, чем меньше изгибаются лучи на протяжении длины волны, С другой стороны, продифференцировав (12.22), получим IV1Ln1. Воспользовавшись (12.28), получим условие
