Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рожин Ф.В. -> "Общая гидроакустика" -> 28

Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.

Рожин Ф.В., Тонаканов О.С. Общая гидроакустика — М.: Моск.ун-т, 1988. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): obshgidroakust1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 37 >> Следующая

Для проведения такого сравнения рассмотрим сначала процеоо трансформации волнового фронта гармонической во времени волны при распространении ее в неоднородной среде, когда скорость аву-К8 С зависит от координат.
Пусть волновой фронт (поверхность равной фазы) в момент "? ^ занимает некоторое положение, которое показано на рио.ХП.І в виде внутренней замкнутой линии. В момент времени *ki+dt конечная точка луча, исходящего из точки ( х f у ,Я ) будет находиться на расстоянии С dt от начального положения участка фронта. Применяя этот метод последовательно к различным точкам первоначального фронта, получим новую замкнутую кривую для момента времени ti tdt , которую следует рассматривать как положение волнового фронта в момент f dt . Этот метод построения был предложен голландским физиком Гюйгенсом. Такое построение фронта является чисто геометрическим. Найдем соответствующее ему аналитическое представление.
- 119 -
Запишем выражение для звукового давления в виде
;fat-к.W(W)] ^i-^M)]
(I2.I)
Функщш bF(<T,yt?) представляет собой іта что иное как уравнение волнового (фронта и имеет размерность длины. Очевидно, что отногаеіше W(X1 у,2)/C0 эквивалентно некоторому времени -?f , и поэтому можно записеть
Пусть J? (х{^Л) - точка фронта в момент времени "^/ . Через время db эта точка окажется в положении
Pf(X + ol Celt, p+?e U+, * + f С***),
где ? - ^ (X1^ Л) _ локальная скорость и ^ , % направляйте косинусы пройденного участка пути PP' (рис.ХП.1).
Соответствующий волновой фронт в момент времени 4-і+ c/t очевидно будет описываться уравнением
Разложив в ряд по малой величине С Л левую часть и ограничиваясь первыми членами разложения, получим
ы(хул)+(<A?+/*}f+y%f)"*= е°(* ^
После подстановки значения 1ЛГ(х,у',?) = СоЬ4 и приведения подоб ных членов будем игле Tb
j Ж+ + у IiT=, _____- п(х,у,*).
^Її+Г Tf *° С(х,уЛ) ¦ д
(12.2)
Теперь необходимо исключить из урозношхя (12.2) ос t ?> и $ Из аналитической геометрии известно, что косинусы нормали к поверхности 2'?г в точке ( X , у 9 ? ) удовлетворяв? пропорют
в также верно соотношение
об* +/W*= І-
Из двух последних соотношений можно определить значения направляющих косинусов
(12.3)
Подставив эти выражения для oi 9 ? , ft в уравнение (12.2), проведя сокращения, а затем возведя в квадрат, получим уравнение, носящее название уравнения эйконала
(12A)
Это уравнение является дифференщальным уравнением в частных производных от произвольной функции 1\Ґ( X, у , тЬ ), которая может определять волновые фронты согласно уравнению
Основное уравнение лучевой акустики (12.4) позволяет построить лучевую картину. Действительно, на основании (12.3) и (12.4) в каждой точке пространства могут быть расчитаны направляющие косинусы лучей
d (12.5)
Пусть в частном случае скорость звука зависит только от глубины C = C(^) . Рассмотрим картину только в одной виртуальной плоскости OC^ . Уравнение эйконале тогда имеет вид
Для нахождения простого решения (12.G) положім Ur(x,Jj)^IMj(x)tW2(jj)-
- 121 -
После подстановки в (12.6) имеем
Для того, чтобы получить семейство решений, положим 35 К » где VC - произвольная постоянная. Тогда дифференциальное уравнение будет удовлетворено при условии
Ввиду сделанного предложения о виде функции ^(*^)*Ц(*)4- WiVj) уравнение (12.6) будет удовлетворяться всеми функциями вида
Л
(12.7)
Чаотное значение К отвечает частному решению W(x,?) и. следовательно, некоторой частной системе волновых фронтов.
Направляющие косинусы луча, отвечающие этому частному значению, можно расчитать из выражений (12.5) и (12.7):
A- « > -П^Ж •
Используем эти выражения для получения уравнения звуковых лучей ^rVJ(X) . Введем крутизну луча в точке
U =: ±- = [^TT ,
dx. du >l Ri I Интегрируя это выражение непосредственно, получим
[ H _
(12.8)
где SC0- произвольная постоянная. Выражение (12.8) в зависимости от значений К и X0 дает совокупность лучей, причем, если T\=Co*$tt то лучи будут прямыми линиями.
Рассмотрим теперь область применимости лучевой акустики исходя из волновых соображений. Для ответа на этот вопрос запишем уравнения акустики неоднородной среды, параметры которой являются заданными функциями координат. Положим плотность и объемную упругооть рввными
* ос,
- 122 -
Будем исходить из двух уравнений:
- уравнения движения (уравнение Эйлера), являющееся обобщением закона Ньютона для объема жидкости, движущегося под действием внешних сил;
Ж ^ (12.10)
- уравнения неразрывности, которое следует из звкона сохранения массы в предположении, что в жидкости нет разрыва и не образуется полостей, таких как при кавитации. Обусловленный звуковыми колебаниями избыток жидкости, втекащей в элементарный объем, должен вызывать увеличение плотности жидкости в этом объеме.
Исключая поочередно из указанных уравнений (12.9) и (12.10) скорость и давление, получим следующие уравнения для звукового давления и колебательной скорости в неоднородной среде:
ZL It2 1 f J (12.II)
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 37 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed