Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
В случае неоднородной среды можно надеяться получить приближенное решение в виде
"PC*)« е*Р І і W*)],
(10.30)
где W(^ представляется в виде ряда по степеням Vk0 » н8~ чинвя с нулевой степени. Величину М(>) можно представить в виде
±* J (10.31)
где У і (*?) - новые неизвестные функции. Подставляя (10.30) о учетом (10.31) в уравнение (10.29), получил
V го к% У
Приравнивая в уравнении (10.29) коэффициенты при K0^ , K0, , получим соответственно
Отсюда определяются значения функций:
IC2 -
Используя выражения (10.30) и (10.31) и ограничиваясь в разложении двумя первыми членами, найдем
(10.32)
Это выражение называют приближением ВКБ для решения уравнения (10.29) Оно описывает совокупность двух волн распространяющихся без взаимодействия друг с другом в направлении положительных и отрицательных значений 3: . Видно, что в данном приближении отражения волн от неоднородностей среды отсутствуют. Это следует из того, что приближение ВКБ есть одна из форм приближений геометрической акустики ( 2 »А ). Выражение в показателе экспоненты дает набег фазы при распространении между горизонтами ^ и A0 • Формула <10.32) непригодна при! ?{ , где JC^V=O1 т.е. на так называемом горизонте поворота или вблизи него.
Величина пропорциональная вертикальному волновому числу, так как
Применим приближение ВКБ для анализа звукового поля в волноводе. Рассмотрим возможные типы нормальных волн в волноводе (области сосредоточения энергии, где локализуются нормальные волны).
I. 0 іrv . Область ограничена сверху поверхностью воды, а снизу горизонтом поворота 2n' , на котором }(п(ї«) »0. 2.2n<St<in • Область ограничена двумя горизонтами поворота - ?л(Ц)«0. На дне и поверхности воды поле исчезающе мало.
3. Щ^^сН • Область ограничена сверху уровнем поворота 3LU , а снизу дном.
4. 0 < К H . Область занимает всю толщу океана. Очевидно, что наибольший интерес представляют первые два
случая, когда волны не касаются дна и могут далеко распространяться. Запишем решение для второго случая, а затем получим решение и для первого.
Общее решение в озвученной облвсти 2V t < запишется ж ваде ( U • «A0 )
- ІСЗ -
, fr *
і «' (10.33)
а вне ее при 1 > Z'
*' (10.34)
Выбор НИЖНеГО ПреДбДШ 8ДвСЬ НекрИТИЧеН В СИЛУ TOTO9 что
энергия сосредоточена в области 2- < ?' ; выбор предела будет влиять на постоянные Aj, A2, A3. Решение для первого случая в виде (10.33) справедливо, если положить 2-w ¦O. Видно, что в (10.33) два члена представляют собою волны, распространяющиеся в сторону положительных и отрицательных 2 f а выражение (10.34) описывает экспоненциально затухающую волну в направления увеличения %.
Постоянные Aj, A2 выражвются через A3 путем сшивания решений при 2^2' 12J :
Тогда выражение (10.33) запишется следующим образом:
PW- 2аДсаОе.\иъ-}) = 2А>Ц)Ъ( f).
* * (10.35)
Для получения нормальных волн из (10.35) надо удовлетворить граничным условиям.
В случае I при Уг »0 должно р(о) »0, что дает
^cU-Or(u-i-) ,71-4,*,?... .
0 (10.36)
где ?„=4^4*) . Выражение (10.36) называют фазовым интег-
ралом.
В случае 2, полагая 1с.»3-Л» I, что означает отсутствие взаимодействия нормальных волн с поверхностью, граничное условие заключается в том, что падающая на горизонт поворота волна опережает
- 104 -
отреженную не ^/z (это дает более точная теория). Представим
в (10.35) косинус в виде экспонент (двух волн) Г 4' г»
Граничное условие на горизонте поворота требует, чтобы отношение первой экспоненты ко второй было равно величине е*р G х) • которую мы умножим на единицу, представленную как А~е*р C?Srt'n) * 910 11P100OT1, к уравнению при 3 * # :
a* J
*ч (10.37)
Таким образом получаем уравнение для собственных функций (нормальных волн):
P1
* (10.38)
где определяется через Чъ.к выражением А - к'(г)-гп^ ,
в tt\w определяется для первого случая из (10.36), а для второго случая из (10.37). в Определяя значение постоянной A3 из условия нормировки \Vb^i =1 [i] . запишем выражение полного звукового поля как сумму нормальных волн после подстановки в (10.6) для случая I: , ?/
1 *• (10.39)
Для второго случая формула (10.39) верна, если в нижнем пределе интегрирования в процессе вычислений брать 3-;; вместо *3г «0. Суммирование следует проводить по тем нормальным волнам, которые дают существенный вклад в полное поле. В первом случае это условие , а во втором зі!^*,<:2а и &!1<2< 2*
В выражении (10.39) величина имеет вид
- 105 -
т.е. это горизонтальное расстояние, проходимое в среде лучом, покидающим горизонт St =0 под углом On =¦ <ысС°$(т«/к0). Из условия определения . Лл следует, что Jl = Cos &*/hn .
Явное решение методом ВКБ для случаев 3 и 4 практически невозможно, так как в силу касания лучами дна происходит дополнительный набег фазы ^ 0, который определяется свойствами под-
отилащего грунта. В этом случае фазовый интеграл имеет вид
Ґ
^пов+ F поворот ^ IP дно -^h- •
о J
гдв ^ пов а Я > У поворот " ? • 8 ^ дно ^тается неопределенным. Но ла больших расстояниях от источника, как указывалось ранее, когда отражениями от дна можно пренебречь, метод ВКБ может оказаться полезным.
