Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
суммы нормальных волн.
На основе формул (10. II) определим структуру акустического поля для простейших типов волноводов.
I. Линейный волновод с абсолютно мягкой границей.
Рассматривая случай приповерхностного волновода, для которого С« C0(I + )# при малых I, видим, что справедливым
оказывается линейный закон изменения квадрате показателя преломления 4
Уравнение для функций р запишется в виде
(10.12)
Преобразуем уравнение (10.12) введением новых переменных
-t=t0+ */*Г\ (і0,із)
та. JT= (2^2)"? ,-t«jT4rol-Kea). (Ю.І4)
Уравнение (10.12) приобретает вид
Решением этого уравнения являются функции Эйри. В общем случае решение представляется комбинацией линейно независимых решений:
-с U(t) + Lv(±). * (10.15)
Асимптотические разложения функций Эйри имеют вид при больших a) "t >¦ 0 и N =¦ 2/3 "t 2 имеем
O)-t<0 и \) = 2/3 швеи
- 96 -
1-S0S3
- 97 -
В дальнейшем нем понадобится лишь функция V(^) f удовлетворяющая условию npnt^oo Vtt)-» 0 . Вид функции Vd) показан на рис.Х.2. Нули функции 15*W лежат при отрицательных "t и равны f Tl «1,2,..., где У,«2,338, % «4,087, ))ь «5,52. Опуская промежуточные выкладки, обратимся к выражению для нормальных волн, получаемому из интегрального представления поля:
(10.16)
где в качестве оледует выбирать функции Эйри^С*,™*),
уменьшающиеся при % оо. .
Собственные значения волновых чисел находятся из выражений
V(0,TU)=O или Шо)= 0. (ЮЛ7)
Решение последнего "to^y*. Из (10.14) получав
(10.18)
При У*/6Г2<К© корни tritt вещественны, т.е. волны не затухают. Введем обозначения
где %.л , как и ранее, координата источника звука. Согласно соотношениям (10.13) и (10.14) имеем
(10.20)
Выражение (10.16) в окончательном виде для рассматриваемого случая запишется в виде
(10.19)
- 98 -
В формуле (10.21) зависящей от является функция VCin) , остальное можно представить как постоянный коэффициент при фиксированном Ґ щ
На рис.Х.3 показаны амплитудные распределения первых трех нормальных волн в функции ^ZsT • Как следует из рис.Х.3, величина jfr (?? К|)"зпо порядку величины определяет ширину волновода.
Фазовая скорость TV-й нормальной волны равна
Сва = ь>/пгч« с, (4 - HvMT?
(10.22)
где Со - 10ZiC0 - скорость в среде при 2 »0. Грушовая окорость
(10.23)
Учитывая связь между и , а также то, что
зависит от <о , получаем
Г L (10.24)
2. Линейный волновод с абсолютной неподатливой границей
В этом случае на границе полупространства выполняется условие ^i/|re*O . EtoecTo соотношения (10.16) будем иметь выражение для поля в виде суперпозиции нормальных волн:
(10.25)
где Vf)n- корни уравнения **** = О . Переходя к функциям Эйри, запишем WHo)=O • Значения корней функции TfYt0)-О можно взять из таблиц *?0--«Гл , где
X1 » 1,019; Хгш 3,248; OC^ 4,82.
Из соотношений (10.13) и (10.14) получим
- 99 -
m? =: ас/ - х* //Г* (10.26)
Заменяя в (10.25) %(гї на функции Эйри ITn(J-) , получим в окончетельном виде выражение для поля в приповерхностном волноводе о абсолютно неподатливой границей:
(10.27)
где
inm*/jC-Xn. , г** а,ЛГ-Хл. (10.28)
В выражении (10.27) выполнено диференцирование
2 >3T>j*tro »1
Вид первых трех нормальных волн, определяемый функцией 7Tfa)t показан на рис.Х.4.
3, Подводный звуковой канал (ПЗК)
Для глубоководных и океанических условий типичным является профиль скорости звука С (2) , при котором на некоторой глубине имеется минимум скорости звука Ст .Эта глубина носит название оси подводного звукового канала. На меньших глубинах наблюдается рост скорости звука в основном за счет повышения температуры, а на больших глубинах скорость растет из-за роста гидростатического давления. В простейшем случае ПЗК можно смоделировать билинейным профилем скорости звука, как это показано не рис.Х.5 с левой стороны. Известно решение в форме нормальных волн для данного случая t?J .В качестве примера на рис.Х.5 показано распределение амплитуды первой нормальной волны по глубине не различных частотах. Видно, что с увеличением частоты кривая распределения вмплитуда все время сжимается к минимуму скорости. Для второй нормальной волны наблюдается два нулевых значения: іш поверхности воды и внутри слоя воды (пунктир на рис.Х.5). Соответственно для U ~й нормальной волны будет 1ъ нулевых значений.
- 100 -
Приближенные методы расчете звукового ПОЛЛ
Одним из приближенных методов является метод ВКБ (Вентцеля-
Крамерса-Бриллюэна). Рассмотрим этот метод.
Представим волновое число k(2)-<.<*)c;r Коп(*) 9 где - волновое число на некотором фиксированном горизонте 30
обычно это ось канала. Тогда уравнение (10,9) без правой части
запишется в виде
(10.29)
Для больших значений VT0 (высокте частоты) можно найти приближенное решение (10.29) в предположении локальной однородности среды, т.е. масштаб изменения "U(Sr) по вертикали Зг»>о-значительно больше длины волны звука. Если бы среда была просто однородной, т.е. V~const » то решение уравнения (10.29) были бы плоские волны (экспоненты е*р[±ско$ )•
