Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
" Є (8 II)
так как ФсОІ . - 4+ ^ ^ ФСе)| а О .
Этот закон будет выполняться приблизительно до расстояний
Х<о,і/М, (8Л2)
- 69 -
после чего начнутся заметные отклонения.
3. При больших расстояниях ?Р\* > 1,5 наблвдается сближение функций Ф(^^)^Ф(^|)Ш] и закон 3/2 оказывается неверным деже приближенно.
Исследование формулы (8.8) при зс->°° приводит к заключению, что на больших расстояниях от источника убывание происходит по цилиндрическому закону, на который накладывается экспонента с коэффициентом затухания, характерным для первой (основной) нормальной волны
I р|г ~ X Є .
В качестве примера на рис.УШ.З приведены несколько законов убывания:
1) цилиндрический х убывание -3 дБ на удвоение расстояния,
2) закон 3/2 - 4,4 дБ,
3) сферический ос"2 - 6 дБ,
4) расчет по формуле (8.8).
Для получения более точных результатов (особенно при небольших jnT ) необходимо более точно учитывать У(\" И , чем это было сделано в приближенных формулах. В результате получим кривую, близкую к кривой 4 на рис.УШ.З, но падающую несколько круче.
Все рассмотренные выше задачи распространения звука в слое жидкости с различными границами и условиями на них, в основном, не предполагали наличия конкретного типа источника звука. Волновой процесс предполагается существующим в слое без конкретизации типа источника. В связи с этим в формулах для потенциала или звукового давления присутствуют неопределенные коэффициенты, зависящие от номера нормальной волны ( 1P/ , H^n » и т.д.). Такое рассмотрение было справедливо на больших удалениях от источника. В действительности учет источника необходим, и при конечных его размерах в первом приближении его можно считать точечным, излучающим сферическую волну типа eL Vr .
Трудность общего решения в этом случае состоит в том, что надо удовлетворить граничным условиям в слое с плоскими границами, имея волну со сферическим фронтом. Путь решения заключается в разложении сферической волны на плоские, учитывая, что для плоских волн теория отражения и преломления на плоской границе хорошо развита.
- 70 -
В предположении, что излучатель размещен в начале координат, нормированное звуковое давление в поле сферической волны дается формулой Р = ?**р(ікі) ,где (хь+у^З:*)*. В плоском слу-чае (-2 =0) поле имеет вид eiK^ , где ^CxУ У % . Разложение поля в двойной интеграл Фурье дает
со
*«р<іа2= Jj(jc^Ky)exf>i'К***+ W)IdKxJKy.
— оо
(8.13)
Следуя ?lj , для определения коэффициента используем
преобразования:
~ со
(8.14)
Переходим к полярным координатам и вводим обозначения
X= rcos <f; = rJin f ; JxJy= rdrdy. В результате
2JT і*7 о J о J
(8.15)
Вычисление интеграла по ^ не вызывает затруднений. Кроме того, для решения задачи принципиально важно наличие поглощения в среде, пусть даже самого малого, что физически вполне оправдано. Это приводит к тому, что волновое число к имеет сколь угодно малую положительную мнимую часть. В. итоге подстановка верхнего предела даст нуль, и тогда имеем
' J 1 "LJ *- ъонГч>-ч>) KJ-I-(Vk
подставляя значения табличного интеграла, находим значение коэффициента
-' 72 -
(8.16)
Таким образом, разложение сферической волны на плоские имеет
вид
Г * **JJ У
(8.17)
Выражение (8.17) описывает поле в плоскости XJf , однако, поскольку каждая компонента Фурье соответствует в пространстве плоской волне, то с формальной стороны для "продолжения" поля на трехмерный случай достаточно в экспоненте добавить член ±tic? 9 где /?-/№~Кк- KJ^ . При этом знак (+) соответствует точкам, расположенным в. полупространстве %>о ,и волнам, распространяющимся в направлении it . Знак (-) соответствует точкам, для которых 2-<г<Э . В итоге разложения в пространстве сферической волны на плоские имеют вид
os
* * (8.18)
Экспонента под интегралом является плоской волной, направление распространения которой характеризуется значениями компонент волнового вектора Kx , К* , К± .
Аналогичным образом можно рассмотреть отражение сферической волны от границы, рассматривая сферическую волну как суперпозицию плоских волн. Разместим излучатель в точке Ґ =0 и Э (плоскость чв 0 является границей раздела двух сред). Каждая из плоских волн в (8.18) при распространении от излучателя к границе и далее в точку приема ( Г , Я- ) набирает фазу KxX + + Jcyy + ki(2 +?о) . При отражении от границы амплитуда из?ленится в соответствии со значением коэффициента отражения V(X*) , Ki 'КШ 6 , & - угол падения волны на границу. Для отраженной волны таким образом имеем
- 73 -
L -ЇЇ 1%[КхХ+Ь!1 + Х*(2 + Ь)1у(Къ)а*1
2ЇГ JJ
" ~ (8.19)
Переходя к полярным координатам, получим
о °
Интеграл по выражается через функцию Бесселя нулевого порядка и равен 2зг J0(^r) • Известна также связь
где H00^ и H- функции Ханкеля 1-го и 2-го рода. Тогда
Если во втором интеграле заменить ^ на' -? и использовать связь H^tghe^^J^Hf'Yfr) » 70 второй интеграл будет
иметь то же подинтегральное выражение, что и первый, но пределы интегрирования - <*>, О , Оба интеграла объединятся в один и тогда
