Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
Это уравнение можно привести к уравнению с одним неизвестным. Учитывая, что Wt?=K*-l2g га2-= к*-f можно записать
tj=\\<i-kz4-lz и исключить из выражения (7,9). Таким образом, имеем
(7.10)
После замеш K1=K,'-^' и -6 + і -с уравнение (7.10) мохио
переписать в виде
Ц(^сЄн)Н]с^[(^і?')К]=
Комплексные корни этого уравнения будут удовлетворить условиям задачи. Для упрощения выкладок введем обозначения:
Заменив обозначения в (7.II) и возведя в квадрат левую и правую чаоть уравнения, получим
(7.12) 55 -
В выражении (7.12) можно выделить действительную и мнимую части, приняв во внимание комплексность J4- р/+ ірч" „ Получим два равенства, определяющие Re (^,5)«0 и CU(^f]» 0:
(7.13)
Система уравнений (7.13) определяет собой две неизвестные величины % и \ • Несмотря на внешнюю простоту решить их в общем виде затруднительно. Для их упрощения следует использовать известные экспериментальные факты:
1. Волновое число кА имеет обычно малую мнимую часть, что справедливо и по отношению к грунтам морских и пресных водоемов.
2. Непосредственный эксперимент показывает на слабое затухание нормальных волн с расстоянием. Поэтому можно положить, что
Последнее неравенство, естественно, может реализоваться лишь на некотором удалении от области, где S'42§ обращается в нуль. Таким образом можно придти к двум уравнениям для определения Ч и \ г
* , , / p \2 ....., (7.14)
- 56 -
(2)
где vjv означает скорость в грунте, вычисленную без затухания. При мелом затухании Cf очень близка к фазовой скорости в нижней среде. Обратим внимание, что первое из уравнений (7.14) не содержит \ , а второе в явном виде выражает \ через ? • Поскольку ? действительная величина, то первое уравнение (7.14) имеет смысл только при % < I, т.е. скорость эвука в грунте больше скорости в воде Cf > с .
Уравнение (I) (7.14) решается графически. Для этого правая и левая части уравнения приравниваются новой переменной:
A-S-Ii+(UWs]SO=^H)1It-U)I-
(7.15)
Первое уравнение (7,15) дает семейство кривых с параметром &/f в второе, как независящее от % , семейство прямых, параллельных оси %
На рио.УП.2 показан пример расчете этих двух уравнений, в частности, для песка, абсолютно пропитанного водой, » 2. Абсциссы точек пересечения прямой с кривыми являются корнями уравнения. Физический смысл имеют корни, определяемые точками пересечения с восходящими ветвями кривых. Нисходящие ветви дают излишние корни, возникающие в результате возведения уравнения собственных чисел в квадрат. Они дают возрастание поля в нижней среде с ростом глубины. При расположении источника в слое жидкости такие решения смысла не имеют, и поэтому их следует отбросить. Из выражения (7.15) следует, что чем больше глубина И или чем выше частота (больше к ), тем прямая поднимается все выше, и появляется все большее количество корней ?rv * Бели H ю const, но изменяется отношение с/сА t тогда при ^tI-Cf1)4} * const получим одинаковое количество решений %п. * Значит при одной и той же глубине и постоянной плотности » получим одинаковые решения на частотах
с
СО ух - Cowst f ~ •
Определив §*к » можно из уравнения (2) (7.14) определить ^n, и мнимые части вертикального волнового числа
(7.16)
- 57 -
Проанализируем горизонтальное и вертикальное волновые числа. Для этого рассмотрим рис.УП.2. Очевидно, что црикИ»! решения задачи будут лежать вблизи ічЗГ , т.е. § - т\Ж~0(%) с небольшим недостатком. В этом случае в выражении для ^n- в (7.14) можно цринебречь в левой части единицей, и формула примет вид
При этом сЧ^\^"т^^> Подставляя в (7.17) и извлекая квадратный корень, получим
или после преобразования и разложения в ряд
S{ (7.19)
!горой член в окончательном выражении (7.19) дает поправку, отли-давдую 5 от 'пЗГ
Рассмотрим выражение для \ из (7Л4). Если второй член числителя умножить и разделить на К2С*()* t то получится
Используя из (7Л7) связь (* Hf- ?2<rijl?(-?-№~(?f]
«включаем, что оба члена числителя (7.20) одного порядка. После Подстановки в (7.20) получим, учитывая, что в знаменателе при Щ Г) ОТ доминирует последний член:
Sih*g (7.21)
- 59 -
При ^-+ъЗГ справедливо приближенное представление
Sing ~ T)T-Tl, , &f е -I ( ъ - нечетное). JT,»f сґ ? - ft Я~ j - і (л -четное).
Формула (7.21) о учетом (7.19) преобразуется к виду
і- 1 'Vf; к; c»-cV f*n?pcH$; кг c,»-<
>2
(7.22)
Кроме того, можно представить, разлагая в ряд последнюю скобку»
^L-If , но при С,>С верно .
Подставив разложение K»/^' в (7.22), получим
(7.23)
Таким обрезом, в явном вице, хотя и приближенно, определены ^ и \ (формулы (7.19) и (7.23)). Основываясь на втих соотношениях, можно рассмотреть фазовую скорость и затухание отдельных нормальных волн.
Запишем горизонтальное волновое число ^ = cm1' в развернутом виде, учитывая малость ?lx :
(7.24)
Вспоминая, что f- ^ U ж \ = Є*Н % после подстановки в (7.24) выражений (7.19) и (7.23) будем иметь для мнимой часта горизонтального волнового числа, определяющей затухание:
