Общая гидроакустика - Рожин Ф.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ненаправленный точечный источник расположен на оси Ъ и имеет координаты & = К ; Z =0. Стоит задача определения звукового поля в точке P ( t, ? , у ), которая сводится к решению волнового уравнения Ap k*p= о с граничными условиями:
1) на поверхности a = H р « 0 - равенство нулю звукового давления;
2) на дне 3: =0 ^=O или =0 - равенство нулю нормальной к границе (вертикальной) составляющей колебательной скорости.
Рвнее было показано, что при наличии одной границы можно воспользоваться понятием мнимого источника и вычислить суммарное поле. По аналогии можно построить систему мнимых источников и случае слоя. Обратимся к рис.У.2, представляющему картину мнимых источников. Дополним поле реального излучателя в точке Оа| полем мнимого, получающегося путем зеркального отображения реального источника в нижней границе слоя. Припишем ему индекс 02, т.е. имеем мнимый источник O02 . Тогда суммарное поле двух излучателей будет
V~ R01 (5.1)
Знак п+п связан о отражением от абсолютно жесткой границы без изменения фазы, расстояния и ?>ог определяются из прямоугольных треугольников:
Второе слагаемое в (5.1) - волна, отраженная от нижней границы. Выражение (5.1) удовлетворяет граничному условию при 2-« О,
- 38 -
-"39 -
в чем легко убедиться дифференцированием ^ Jt • Однако сумма (5.1) не является решением задачи, так как она не удовлетворяет граничному условию при ^=H ( р =0).
Дополним источники O01 и O02 их зеркальным отображением относительно границы зЬ =Н (поверхность воды) и обозначим эти источники и 00<4 • Источники O0} и O0^ работают в противо-фэзе о Оог и Оси • Суммарное поле четырех источников (с учетом изменения знака при отражении от поверхности) равно
"~ХГ~ ^ Ri* ' (5.2) где__- __
Выражение (5.2) удовлетворяет волновому уравнению, так как ему удовлетворяет каждое слагаемое суммы. Кроме того, оно удовлетворяет граничному условию на поверхности воды при 3 » Н, так кэк в этом случае 1R01-U03 и R^2- RoA и олагеемые (5.2) попарно компенсируются, давая ц а 0. Однако теперь нарушилась симметрия относительно границы 2 =0, а значит и выполнение на ней граничного условия. Эту симметрию можно восстановить, введя еще два мнимых источника и O1^ , получаемых зеркальным отражением O0^ и O04 относительно нижней границы и также работающих в противофазе с Ooi . Теперь граничные условия удовлетворяются на нижней границе, но не удовлетворяются не верхней и т.д. Таким образом, приходим к необходимости дальнейшего построения бесконечной цепочки мнимых источников.
Можно заметить, что вся цепочка получается периодическим повторением одной из четверок излучателей ( O0,, O02, O03. O0« ) вдоль оси ЗЬ с периодом 2Н. Расстояние до произвольного излучателя 0NM( N= 0,1,2,... , M а 1,2,3,4) от точки приема
Поле каждого мнимого излучателя фактически есть поле волны, распространяющейся по соответствующему лучу. Это легко заключить из рис У. 2, причем для выбранного излучателя соответствующий луч
'- 40 -
имеет такое же количество отражений от границ раздела, сколько раз линия, соединяющая излучатель с точкой наблюдения p(t,2) , пересечет соответственно сплошные и прерывистые линии, обозначающие границы слоя и их отображения. Необходимо лишь только учесть количество отражений от дна ( =1) и от поверхности ( AQ »-1). Очевидно, роль более удаленных излучателей будет уменьшаться в силу роста R-NM и расхождения волны.
В конечном счете для звукового давления всей совокупности излучателей в рассматриваемом случае получаем ряд
P •LW
Rtfl Rtf/4
(5.3)
Предположим теперь, что нижняя и верхняя границы характеризуются коэффициентами отражения звуковой волны равными соответственно Y^ и "V^. и предположим для простоты, что они не зависят от угла падения волны. Тогда звуковое поле в произвольной точке можно представить как сумму сферических волн, исходящих из мнимых источников, но каждая из волн будет иметь добавочный амплитудный множитель A^ s ,Y^ , где $ и °s{ - число отражений от нижней и верхней границ слоя.
Учитывая значения S и для различных излучателей (см. рио.У.2), будем иметь выражение для суммарного поля в слое:
(5.4)
В рассматриваемом нами случае ГА =i и -і. Очевидно, что случай "Yj я "Уг « I соответствует неподатливым, жестким границам, а случай Y< = = -I - абсолютно мягким границам. Обратим внимание, что коэффициент отражения - величина постоянная не только когда границы полностью отражают. Когда граничат две среды с одинаковой скоростью звука, но разными плотностями J> и Д , коэффициент отражения будет равен
Ряд (5.4) приближенно описывает звуковое поле и в том случае, когда и "Vi ~ функции угла падения волны. Следует только правильно учесть угол падения волны от соответствующего источника на границы раздела сред. Именно для этого угла и следует брэть значения коэффициента отражения.
Формула (5.4) правильно описывает звуковое поле в случае, когда толщина слоя H значительно больше длины волны звука. Рассмотренный метод решения является приближением лучевой акустики и предложен Л.М.Бреховских.
