Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 98

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 162 >> Следующая

Р (X): у) = %У и гД = Ц'Л
где \i и |Ч-константы. С точностью до наименьшего порядка малых величин
(Я, я; 0) xi согласованы с yi, a x'J с y'i. Поэтому
I'J = dx'i/dxk |Ро g*;
следовательно, для любой данной точки Р (к) на геодезической, проходящей
через Р0,
y'J = dx'Jldxk\Poy*, (27.2.8)
а это и есть указанное в теореме линейное преобразование.
Упражнение
Покажите, что следующий член ряда (27.2.4) можно записать в виде
- (1/3!) T*tmr |р0 У1УтУг, (27.2.9)
где
Г4тг= у ^{dTkmr/dx'-2T^Tsmr), (27.2.10)
причем суммирование осуществляется по циклическим перестановкам индексов
I, т и г. Члены высшего порядка с коэффициентами Г*т...0 обсуждаются у
Эйзенхарта [1926].
В случае римановых и псевдоримановых многообразий, когда коэффициенты
связности получаются при помощи метрического
тензора каю где {/mj заданы формулами (26.6.10),
(26.6.11), из (27.2.6) следует, что первые частные производные
метрического тензора равны нулю в начале геодезических координат, потому
что
dSkm!dxl =IW' m] + [ml, k].
27.3. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ В РИМАНОВЫХ И ПСЕВДОРИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
При наличии метрического тензора можно еще больше упростить работу с
геодезическими координатами, если подобрать такое линей-
236
Гл. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
ное преобразование координат у', что в точке Р"
(+ 1
+ 1
(0)
+1
(27.3.1)
- 1
(0)
- 1
(в случае римановых многообразий у всех ненулевых членов будет знак +.
Это можно сделать следующим образом. Сначала можно преобразовать у1' при
помощи ортогональной матрицы так, чтобы матрица (gJh) стала в точке Р0
диагональной. Пусть диагональными элементами являются числа dp .. ., dn,
где первыми идут положительные числа (и все d/ф0). Затем сделаем еще одно
преобразование у'' = V\ d; | у' (здесь соглашение о суммировании не
используется), после которого матрица (gJk) примет указанную выше
стандартную форму.
Такие у1 единственны с точностью до ортогонального преобразования
(вращения, возможно, с инверсией) в случае римановых многообразий и с
точностью до преобразования Лоренца в случае псевдоримановых
многообразий. Эти числа у1 называются нормальными, или нормальными
геодезическими, или нормальными римановыми координатами.
Если риманово многообразие погрузить как "-мерную поверхность S в
евклидово пространство EN большей размерности, как это описано в § 26.4,
то нормальные координаты совпадают с декартовыми координатами "-мерной
гиперплоскости, касательной к S в точке Р0; поверхность проектируется на
эту гиперплоскость так, что геодезические, проходящие через Р0, переходят
в касательные линии, а длины вдоль геодезических переходят в длины вдоль
касательных.
(В некоторых старых книгах любые координаты, в которых первые частные
производные от gjh в точке Р" обращаются в нуль, называются
геодезическими координатами в окрестности Р0.)
27.4. Геометрические понятия. Принцип эквивалентности 237
27.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Геометрия имеет дело с точками и линиями, а также с объектами,
построенными из них; в частности, она имеет дело с пространствами точек,
в которых выделены определенные множества точек, называемые прямыми или
геодезическими. В рассматриваемых здесь геометриях предполагается также,
что такое пространство является "-мерным континуумом в том смысле, что он
обладает топологическими свойствами "-мерного многообразия.
Основным геометрическим понятием является конгруэнтность (сравнимость)
г). Обычно имеется некоторая группа преобразований пространства,
называемая группой конгруэнтности', преобразова ния, входящие в эту
группу, сохраняют геометрические соотноше ния. В качестве примеров можно
указать группу движений в евклидовом пространстве и группу Пуанкаре
(неоднородную группу Лоренца) в пространстве Минковского. О двух фигурах
(множествах точек) говорят как о конгруэнтных, если одну фигуру можно
преобразовать в другую при помощи некоторого преобразования этой группы.
(В "Эрлангенской программе" Феликса Клейна (1872 г.) господствует
противоположная точка зрения: когда на пространстве задается группа
преобразований, она служит для определения геометрии, состоящей из тех
отношений, которые сохраняются при этих преобразованиях.)
По аналогии е геометриями Евклида и Минковского можно предполагать, что в
пространстве с метрическим тензором gjh группа конгруэнтности должна
состоять из тех преобразований, при которых тензор gjh сохраняет свои
значения. Однако в большинстве случаев таких преобразований вообще нет
(за исключением тождественного преобразования), если только пространство
не является плоским или не имеет постоянную кривизну. Следовательно, в
большинстве случаев нет и обычного понятия конгруэнтности.
Для очень малых фигур можно определить приближенное понятие
конгруэнтности. Рассмотрим сначала риманово многообразие. Пусть у1, ...,
уп-нормальные координаты в окрестности точки Р0, а до1, ..., до"-
нормальные координаты в окрестности другой точки Q0. Пусть гр-отображение
Предыдущая << 1 .. 92 93 94 95 96 97 < 98 > 99 100 101 102 103 104 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed