Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 97

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 162 >> Следующая

кривой.
27.2. Геодезические (римановы) координаты
233
27.2. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ (РИМАНОВЫ) КООРДИНАТЫ
Ключом к исследованию локальных геометрических свойств рима-нова
многообразия в окрестности точки Р0, где метрический тен-зор gjk задан в
системе координат х1, ..., хп, содержащей точку Р0, является выбор новой
системы координат х'1, ..., х'п, которая становится все более похожей на
декартову при приближении к Р0. Было бы желательно, чтобы преобразованный
метрический тензор g'jk был равен Ь/к в Рй (это всегда можно сделать), а
вблизи Р0 был бы близок к V Мы увидим, что можно обратить в нудь все
первые производные от g'jk в Р0, а некоторые линейные комбинации этих
производных даже в целой окрестности Р0. В этом смысле новые координаты
будут настолько близки к декартовым, насколько это возможно. Оставшееся
отклонение g'jk от б/А будет отражать тогда неевклидов характер
геометрии.
Случай псевдоримановых многообразий аналогичен, только здесь мы стремимся
сделать g'jk равным ±6,^ в Р0, причем знаки + и - определяются в
соответствии с сигнатурой тензора gik.
В аффинно связных многообразиях мы стремимся к тому, чтобы обратить в
нуль в Р0 все коэффициенты связности ГД и оставить их малыми вблизи Р0.
В данном параграфе мы рассмотрим аффинно связные многообразия, для
которых Р1 jk = Plkj, а позднее уточним полученные результаты для других
случаев. Пусть \U, <p, (V}-карта, содержащая точку Р0, а х1, .. ., хп
обозначают координаты в этой карте. Рассмотрим семейство всех
геодезических, проходящих через Р0, натуральный параметр к для каждой из
которых выбран так, что к = 0 в Р". Координаты на такой геодезической
задаются решениями хк (?i) задачи с начальными данными
d2xk/dk2 + Гк[т (dx'/dk) dxm/dk = 0, (27.2.1)
**(0) = Ф*(Яо), (27.2.2)
dxkldl\k^ = yk, (27.2.3)
где у1, ..., уп-вещественные числа, не все равные нулю и определяющие
направление, по которому геодезическая выходит из Ри. Согласно
теореме 2 § 26.8, эта задача имеет решение хк (к-, у1, ...
..., уп), k = 1, . .., п, для 0 ^ к ^ 1 и для всех векторов
у1, . . ., уп
в некоторой окрестности начала координат. Если разложить это решение по
степеням к, а коэффициенты первых трех членов разложения получить из этой
задачи, то обнаружится, что
хк(к\ у1, ¦¦ ¦, уп') = хк(0) + кук-1/2Гк1т\0у1ут + О(к3\у\я),
где \ у\ обозначает max|yft|. Индекс 0 означает, что коэффициент
(ft)
связности Гк1т вычислен в точке Р0. Выражение в правой части равенства
можно было бы рассматривать и как степенной ряд по малым
234
Г л. 27. Римановы и аффинно связные многообразия
величинам Ху1, .. ., Хуп\ следовательно, без потери общности можно
положить Х=1, если ук сами по себе достаточно малы. Тогда
хк{\\ у1, .... Уп)^хк(0) + ук-1/,Гк1т\<>у'у- + О(\у\3). (27.2.4)
Из этого равенства следует, что матрица Якоби дхк(\; у1, ..., уп)/ду1
равна 6* в Р0 (где не все ук равны нулю), а отсюда следует, что уравнения
хк = хк(\\ у1 уп) (k- I, ..п)
можно обратить в некоторой окрестности точки Р0 для получения {у/} как
функций от \xJ'\. Несколько первых членов соответствующего разложения ук
выглядят так:
ук = хк-хк(0) + 1/2Тк1т1(х' - хЧ0))(хт-хт(0))+... . (27.2.5)
Числа у1, ..., уп называют геодезическими (или римановыми) координатами
вблизи Ри.
В этих формулах коэффициенты связности Тк1т зависят от исходных
координат. Соответствующие коэффициенты в геодезической системе координат
будут обозначаться через Г*/т; их значения можно вычислить следующим
образом. Геодезическая задается в геодезической системе координат
уравнением ук = ук(Х) = Х^к, где g1, . . .,1п - константы; значит,
d2yk/dX2 = 0, а сравнение с общим уравнением (27.2.1) (с заменой хк на
ук, а Тк1т на Гк1т) показывает, что на геодезической Гк1т?,11т = 0 для
всех X и всех I1, ...
..., I". В силу этого в точке Р0
Г*гт = 0 для всех k, I, т (27.2.6)
и вообще
^'kim(y1y •••. уп)у'ут = 0 для всех k (27.2.7)
во всей окрестности точки Р0, в которой определены геодезические
координаты.
Замечание. За исключением плоских пространств, геодезические координаты в
окрестности Р0, вообще говоря, не являются геодезическими координатами в
окрестности соседней точки Q0. Иначе говоря, прямая yk - Xtk-\-ak в
пространстве R" координат у1, ... ..., уп в общем случае не является
геодезической, если хотя бы одна из констант а1, . .., ап отлична от
нуля, т. е. если прямая не проходит через начало координат R".
Новые координаты в окрестности Р" пока не единственны; эту
неединственность описывает следующая теорема.
27.3. Нормальные координаты в римановых многообразиях 235
Теорема. В окрестности заданной точки Р0 произвольное преобразование
координат х' сводится к однородному линейному преобразованию
соответствующих геодезических координат у'.
Доказательство. Пусть х'1, ..., х'п-координаты в любой другой карте,
содержащей Р0, а у'1, ..., у'п-соответствующие геодезические координаты в
окрестности Р0. Любая геодезическая Р(к), проходящая через Р0, для
которой Р (0) = Р0, выражается в геодезических системах координат в виде
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed