Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 95

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 162 >> Следующая

как множество наборов п3 функций ГД = = IV*1, ... , хп), причем с каждой
картой на М связан один такой набор, а на перекрытии двух карт два
соответствующих набора функций связаны законом преобразования
дхч
Y't _ I р дх1 дхг д2хг I st dx'i дх'к дх'1дх'к
(26.12.2)
дх?
(совпадающим с (26.12.1)). Так как уже не предполагается, что Г'Д
вычисляются по значениям метрического тензора gjk как ]Д}, то необходимо
проверить непосредственно, что этот закон преобразования транзитивен (см.
§ 26.1), для того чтобы гарантировать самосогласованность определения
аффинной связности; это предоставляется сделать читателю в качестве
упражнения.
В аффинно связном многообразии М (т. е. в многообразии, на котором
определена аффинная связность) гладкая кривая х' = х' ('к) (1 - 1, ...
,п) называется геодезической, а К-натуральным параметром на %, если
удовлетворяет уравнениям
xr -f Vrklxkxl = 0 (г = 1, ..., п) (25.12.3)
(точки означают дифференцирование по Ц. Сравните эти уравнения с
(26.6.12).
Как и в римановой геометрии, уравнения геодезических (26.12.3)
инвариантны относительно замены систем координат в том смысле, что если
кривая % лежит на перекрытии двух карт, то она удовлетворяет уравнениям
(26.12.3) в одной из координатных систем тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет этим уравнениям и в другой системе координат. Эти уравнения
инвариантны также относительно преобразования К-t-a'k + b {а=?= 0)
натурального параметра данной геодезической.
26.13. Римановы и псевдоримановы накрывающие многообразия
229
Теоремы § 26.8, относящиеся к задаче с начальными данными о
геодезической, остаются справедливыми, если коэффициенты T'/k аффинной
связности являются ^-функциями, для чего, согласно (26.12.2), требуется
С3-гладкость многообразия.
Выполняется и теорема Уайтхеда (на самом деле Уайтхед сформулировал и
доказал ее первоначально именно для аффинно связных многообразий): для
каждой точки Р найдется такая окрестность V, что любые две точки в V
можно соединить единственной геодезической, целиком лежащей в V.
Вопрос о том, можно ли найти (по заданным на многообразии коэффициентам
Г'/й, аффинной связности) такой метрический тензор g;k, чтобы он был
согласован со связностью, т. е. чтобы Г' .Л = {Д), обсуждается вкратце в
конце § 27.10.
Геометрическая структура, обусловленная геодезическими на аффинно связном
многообразии, называется геометрией путей', некоторые ее аспекты
обсуждаются в следующей главе. Из (26.12.3) ясно, что при этом следует
предполагать симметричность коэффициентов связности по нижним индексам:
rV = rV (26.12.4)
В более общем случае иногда вводится дополнительное геометрическое
понятие-кручение, которое основано на антисимметри-ческой части V2 (T'Jk-
Г'й/Г) связности; см. Фландерс [1963]. Так как кручение не действует на
геодезические, его следует рассматривать как нечто внешнее по отношению к
ним и накладывать на геометрию многообразия, определяемую геодезическими.
26.13. РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ НАКРЫВАЮЩИЕ МНОГООБРАЗИЯ
Пусть М-накрывающее многообразие для N, а ф-проекция М на N. Для любой
функции f (Р) на N (скажем, класса Ск) о
" def
функции f (Q) =/(ф(<2)), определенной на М, говорят, что она поднята из N
на Л4 (по аналогии с поднятием кривых и поверхностей, описанным в §
24.2).
Предположим теперь, что N-риманово многообразие. Пусть Ф< (Р) -
координаты в некоторой правильной окрестности V с: N, a gjk - компоненты
метрического тензора в этих координатах. Все Ф' и gik являются функциями
на N, и их можно поднять на М как функции <р' и g/k. Тогда каждая связная
компонента (7,- из ф-1(К) становится картой с координатами ф' и
метрическим тензором gjk и нетрудно показать, что тем самым Л4
превращается в риманово многообразие, которое называют римановым
накрывающим многообразием для N. Если М-универсальное накрыва-
2.30
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
ющее многообразие многообразия N, то М называется его универсальным
римановым накрывающим многообразием.
Аналогично определяются и псевдоримановы накрывающие многообразия.
Рассмотрим теперь задачу построения многообразий N, накрываемых данным
римановым многообразием М. Для общего многообразия М такое N было
получено в § 24.6 посредством такого гомеоморфизма а М на себя, что если
Р-любая точка М, то множество точек Р, о(Р), о(о(Р)), ..., о~1(Р), ...
дискретно (не имеет предельной точки в Ж); построение накрываемого
многообразия N осуществляется отождествлением всех точек этого множества
для каждой точки Р, т. е. множество всех точек, получающихся из Р
посредством гомеоморфизма а, рассматривается как одна точка искомого
многообразия N. Для того чтобы в результате такого построения получилось
риманово многообразие, необходимо потребовать только, чтобы отображение
сг было изометрическим гомеоморфизмом, т. е. чтобы оно сохраняло метрику.
Пусть {U, ф, /V} - произвольная карта на Ж, a U' - множество всех течек Q
= o(P) для P^U. Положим ф' (Q) = ф (a-1 (Q)). Ясно, что {U\ <р\ N\-
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed