Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
риманово многообразие можно всегда погрузить в EN, где (V = 1/2" ("-)-1),
хотя для того, чтобы погрузить многообразие как гиперповерхность без
самопересечения (т. е. вложить),
216
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
требуется пространство большей размерности (см. обсуждение бутылки Клейна
в § 23.1)1).
Псевдориманово многообразие также можно погрузить в плоское пространство
(обобщенное пространство Минковского) подходящей размерности и сигнатуры.
Однако это утверждение имеет ограниченное обращение: гладкая поверхность
в такого рода плоском пространстве является псевдоримановым многообразием
только в том случае, когда она нигде не параллельна световому конусу.
Упражнения
1. Пусть of - риманово многообразие с одной координатной системой х1=?,
*а = т] и с метрическим тензором, задаваемым матрицей
координаты | и т) могут изменяться на всей (?, т])-плоскости. Покажите,
что & может быть погружено в Ег как полусфера.
2. Аналогично найдите погружение в ?3 многообразия с метрическим тензором
26.5. ПОДНЯТИЕ И ОПУСКАНИЕ ИНДЕКСОВ
Если V1'-любой контравариантный вектор на римановом или псевдоримановом
многообразии, то ковариантный вектор Vj=gjkvk, полученный как внутреннее
произведение v1 на метрический тензор, рассматривается как просто другое
представление Щ; говорят, что Vj получено из v1 опусканием индекса, и
когда один и тот же символ используется для контравариантного и кова-
риантного векторов, предполагают, что они связаны именно таким образом.
Аналогично, если ш,--произвольный ковариантный вектор, говорят, что
контравариантный вектор w> - g>'kwk получен поднятием индекса. Если
индекс сначала поднимается, а затем опускается (или наоборот), получается
исходный вектор, потому что (g/k) и (gik)-взаимно обратные матрицы, так
что gjkgklWi = W/-Точно так же можно опустить или поднять любой индекс
любого тензора, например
заметим, что горизонтальное упорядочивание индексов должно сохраняться,
если тензор не является симметрическим. Ясно, что g/k-эт0 просто
результат поднятия обоих индексов gjk\ смешан-
1) Отображение ф многообразия М в EN называется погружением (иммерсией),
если его матрица Якоби в любой точке невырождена; оно называется
вложением, если является взаимно однозначным отображением многообразия М
на его образ в EN.- Прим. перев.
S.ki = gkmS.ml==g.mSkm И Т. Д.|
26.6. Геодезические на римановом многообразии
217
ная форма метрического тензора имеет вид
/ /1 при j = k\ ~/
gk - g gik- jo при k'
в этом частном случае привычно писать индексы без горизонтального
разделения (gk вместо g1 h или g/), что допустимо вследствие симметрии.
26.6 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
Оставшаяся часть главы, за исключением последнего параграфа, посвящена
геодезическим. Однако это еще не совсем геометрия, потому что мы будем
иметь дело в основном с аналитическими методами и связями. Геометрические
свойства появятся в следующей главе с введением таких понятий, как
параллельный перенос вдоль кривой.
Пусть %-гладкая кривая на римановом многообразии М с началом и концом Р2.
Предположим сначала, что ё лежит на одной координатной карте и в этой
карте описывается функциями xS(w), a^w^b, которые принадлежат классу С2.
Преобразования одной карты в другую будут рассмотрены позднее. Величина
ь _______________ ь
L=<\)yrgk[xkxl dw-^ds (26.6.1)
а а
называется длиной кривой ё. (Если М погружено в евклидово пространство EN
более высокой размерности, как это описано в § 26.4, то L-в точности
длина ё, как кривой в EN.) Подкоренное выражение в (26.6.1) положительно,
потому что метрический тензор в римановом пространстве положительно
определен (о псевдоримановых пространствах см. § 26.7). Это подкоренное
выражение следует рассматривать как функцию от до:
def
gki(xl(w), ..., хп (до)) (dxk (w)/dw) (dxl (w)/dw) =
def . ,
= ф(х\ ..., xn, x1, ..., xn), (26.6.2)
где точка обозначает d/dw, а каждый аргумент функции Ф(...) понимается
как соответствующая функция от до.
Заметим, между прочим, что если кривая ё лежит на пересечении двух карт,
то в любой из них длина L оказывается одним и тем же числом, поскольку
выражение (26.6.2) является скаляром и для любого до значение Ф не
зависит от выбора системы координат; следовательно, значение L,
полученное из (26.6.1), оказывается инвариантом. Если ё-кусочно гладкая
кривая, то под ее длиной понимается сумма длин ее гладких кусков.
218
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
Если можно найти такую гладкую кривую от Pt до Ра, определяемую функциями
ук:
#0: xk - yk(w) (a^w ^b), (26.6.3а)
что интеграл L для оказывается меньше, чем для любых других кривых,
соединяющих Рг и Р2, то очевидно, что $0 является самой короткой среди
таких кривых. Чтобы сравнить $0 с соседними кривыми, рассмотрим кривые %
вида
хк - ук (до) -f-ег* (до), (26.6.36)
где е-малый параметр, а гк - произвольные С2-функции, такие, что гк(а) =
гк(Ь) = 0 (k= 1, ..., п)\ тогда
ь
L = Д + | е j Ф-У* (I(r) г* + -g- г*) dw + O (е2), (26.6.4)
