Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
(образующими), а само это множество - системой образующих группы.- Прим.
перев.
24
Гл. 18. Элементарная теория групп
ческую группу порядка п можно описать одним образующим элементом а и
одним определяющим соотношением ап=е.
Группа, для которой не требуется никаких определяющих соотношений,
называется свободной группой; она строится следующим образом. Пусть S -
(конечное или бесконечное) множество букв, S = {a, Ь, . . .}, называемых
образующими. Назовем словом конечную упорядоченную систему символов хг х2
. . . xh, где xt является либо буквой из множества S, либо символом вида
а-1, причем а ? S. Два слова равны, если одно из них можно получить из
другого включением или вычеркиванием (сокращением) пар символов вида аа"1
или a_1a (a? S). Очевидно, желательно сократить максимально возможное
количество пар; это может привести к пустому слову, т. е. слову, не
содержащему никаких букв; обозначим такое слово через е, полагая при
этом, что е не является буквой из S. (Например, abc~1cb~1a~1=e.) Чтобы
получить произведение двух слов, нужно просто одно слово написать
непосредственно за другим словом: если w=XiX2. . .хк, и=угу2. . .уь то
W0U = X1 ... xkyt ... ylt U0W = yl ... ytxt ... xk.
Нетрудно проверить, что множество всех слов, состоящих из элементов
заданной системы образующих S, представляет собой группу G относительно
указанного произведения. Она называется свободной группой, порожденной
множеством S. Единицей является пустое слово е, а обратным слову хгх2. .
. хк будет слово укук_. .уи где yt= а-1, если xt=a, и yt=a, если х=а~1.
Определяющие соотношения между элементами группы можно устанавливать¦(в
таком случае группа уже не будет свободной) при помощи уравнений Wi=e,
w2=e и т. д., где wltw2, ... - некоторые слова. Эти соотношения
определяют структуру группы.
Если среди соотношений мы имеем aba~1b~1=e (что эквивалентно ab=ba) для
каждой пары а, Ь элементов из S, то эта группа является абелевой. Если
кроме этих соотношений других нет, то G называется свободной абелевой
группой. Свободные группы и свободные абелевы группы будут использоваться
в § 23.7 при изучении видов многосвязностей, которыми может обладать
многообразие. Структура свободной группы или свободной абелевой группы
определяется исключительно числом образующих.
Любая конечная группа G эквивалентна (т. е. изоморфна) некоторой группе,
определенной при помощи образующих элементов и определяющих соотношений:
в качестве S можно взять множество всех элементов группы G, а
определяющие соотношения брать так, чтобы получить всю информацию,
обеспечиваемую таблицей умножения группы; например, если из таблицы
следует, что ab=c, то одним из определяющих соотношений будет abc~1-e.
Если группа определяется конечным числом образующих и конечной системой
соотношений, она называется конечно определенной',
18.13. Кратко периодические функции и кристаллы
25
однако эта группа может быть бесконечного порядка, и такие группы создают
многие сложные и трудные задачи для современного исследования. Так
называемая проблема тождества, хотя и не совсем новая, дает представление
об этих трудностях. Помимо определяющих соотношений W!=e, . . ., wn=e
всегда возможны другие уравнения вида w=e\ например, w может быть равно
WjWt или и/оици"" где и"0- произвольное слово. Проблема тождества,
впервые сформулированная в 1912 г., состоит в следующем: дана конечно
определенная группа, найти процедуру (т. е. алгоритм), такую, что если
дано произвольное слово w, выраженное через образующие группы, то
процедура за конечное число шагов должна решить, является ли равенство
w=e истинным или ложным. В. Магнус в 1932 г. показал, как получить такой
алгоритм для любой группы с одним определяющим соотношением. В 1955 г. П.
С. Новиков дал (весьма длинное) доказательство алгоритмической
неразрешимости проблемы тождества в общем случае. В настоящее время
известны группы, которые определяются малым числом образующих и
определяющих соотношений и для которых может быть доказано, что никакой
алгоритм требуемого вида не существует.
13.13. КРАТНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И КРИСТАЛЛЫ
Идеализированный кристалл состоит из очень большого числа идентичных
элементарных структур, называемых элементарными ячейками и размещенных в
виде трижды периодического массива или решетки в пространстве. Если f (х)
описывает плотность массы или заряда или аналогичную величину на этой
структуре, то f (х) является трижды периодической функцией. В общем
случае функция f (х ь .... xn)=f(x) п вещественных переменных называется
п-крат-но периодической, если существует п линейно независимых векторов v
(1), . . ., v(n), т. е. векторов, таких, что
(18.13.1)
и что / (х) удовлетворяет уравнениям
/(x + v(l)) = /(x), / (х + v (2)) = / (х),
(18.13.2)
f (х + v (/i)) = f (х)
26
Гл. 18. Элементарная теория групп
для всех х. Векторы v(t) называются периодами функции /(х) если вектор w-
любой вектор вида
где mt- целые числа (положительные, отрицательные или нуль), то
