Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
координат (или вообще путем любого движения). Пусть теперь х' и л/ + Дх'
(t'=l п)-координаты двух точек Pj и Ps, а Х' и Х' + ДХ'-их декартовы
координаты, т. е.
X' = X'(^ хп), (26.3.2)
X1' + ДX' = X' (х1 + Ах1 хп + Ахп).
Квадрат расстояния между Pj и Р2 определяется равенством (d (Pj, Р2))2 =
(ДХ1)2 + • • • +(ДХ")2; (26.3.3)
если Ах{-малые величины, то после разложения (26.3.2) в ряды Тейлора
получается
(d (Р^ PJ)2 = gjk (.x1....x") AxlAx* + 0(\Ax |3), (26.3.4)
где ) Дх) = max | Дх^). Это равенство обычно записывают в виде (/)
ds* = gJkdxJ dxk\ (26.3.5)
величина ds называется линейным элементом. Из (26.3.1) следует, что при
преобразовании координат х1 хп в другие координаты х'1, ..., х'п функции
gJk(-..) преобразуются как компоненты ковариантного тензора второго
ранга, что согласуется с обозначением gjk. Более того, этот тензор
симметричен: gjk = gkj. Равенство (26.3.4) показывает, что числа gjk
образуют положительно определенную матрицу. Далее будет предполагаться,
что
gjk (хх хп)--
дХ' дХ' dxi dxh
дХ" дХп dxi dxk
(26.3.1)
214
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
аналогичный метрический тензор существует в любом римановом пространстве,
хотя и необязательно в виде (26.3.1), поскольку декартова система
координат может не существовать, если пространство не является
евклидовым.
26.4. РИМАНОВЫ И ПСЕВДОРИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ
Риманово многообразие-это "-мерное многообразие М, на котором определен
тензор второго ранга g-k\ этот тензор на всем М (1) симметричен (gjk =
gkj) и (2) положительно определен (gjkvJ'vk > 0 для любого ненулевого
вектора Все собствен-
ные значения матрицы (gilt) положительны. Заметим, что если тензор gjk
симметричен, то и тензор
g'jk = {dxr!dx'i) (dxs!dx'b) grs (26.4.1)
симметричен. Заметим также, что положительная определенность при этом
законе преобразования сохраняется, потому что g/kvJvk-скаляр.
Детерминант матрицы (g/k) обозначается через g или g(xy, ..., хп)\ он не
образует скалярного поля, поскольку его значение в данной точке
многообразия зависит от системы координат.
Закон преобразования (26.4.1) в матричных обозначениях выглядит так:
G' = JGJr, (26.4.2)
где G-матрица (gJk), a J-матрица Якоби.
Для псевдориманова многообразия не требуется, чтобы матрица (gjk) была
положительно определенной; необходимо лишь, чтобы она была невырожденной
и симметричной. Каждое собственное значение G либо > 0, либо < 0;
сигнатурой s матрицы G называется число положительных собственных
значений минус число отрицательных собственных значений. Согласно закону
инерции Сильвестра для квадратичных форм, сигнатура матрицы G' = JGJT
совпадает с сигнатурой матрицы G; доказательство можно найти в книге
Бохера [1922]. Следовательно, сигнатура s в каждой точке не зависит от
выбора системы координат. Собственные значения матрицы G являются
непрерывными функциями ее элементов gJk, а значит, и координат х1, . . .,
хп и никогда не обращаются в нуль; следовательно, никакое собственное
значение не может изменять своего знака при изменении {х'\. Так как М-
связное многообразие, сигнатура s матрицы G постоянна на М. В общей
теории относительности М имеет размерность 4 и сигнатуру 2, так что G на
всем М имеет три положительных и одно отрицательное собственные значения.
26.4. Римановы и псевдоримановы многообразия
215
Поскольку det G=f= 0, матрица G обратима; элементы обратной матрицы
обозначаются через gJk = gJk (х1, ..., хп); эти функции преобразуются по
формуле
g'j* = (дхЧ/дхг) (dx'k/dxs) grs. (26.4.3)
Это равенство можно получить при помощи вычисления матрицы, обратной
матрице (26.4.2), учитывая при этом, что матрицы Якоби обратных
преобразований являются обратными матрицами. Отсюда следует, что gJtt
является контравариантным тензором ранга 2.
Если if есть "-мерная гиперповерхность в евклидовом пространстве EN, где
N > ", то if можно рассматривать как рима-ново многообразие с той
метрикой, которую if наследует из Еы. Если х1, ..., хп-внутренние
координаты на части U гиперповерхности if и X1, ..., XN-декартовы
координаты в EN, причем на U
Х'' = Х'>\ ..., *"), /=1, ..., (V,
то, как и в § 26.2, расстояние d (в EN) между двумя точками х1 и xi Axi
на if получается по формуле
N
d2= 2 [Х' (х1, ..., х") - Xе (х1 + Дх1, ..., хп + Ax")]2 =
i = 1
= gJkbxibxk + 0{| Лг> I),
где
N
gjk = 2 (dX4dxi) (дХЧдх*).
!' = 1
Говорят, что if погружено в EN и что g]k-наследственный (индуцированный)
метрический тензор.
Пример
Если дс1 = 0 и *2=<р-сферические координаты на единичной сфере, где О < 0
< я, -я < ф < я, а X, У, Z-декартовы координаты в Е3, то
X = sin д:1 cos дс2, K = sln х1 sin х2, Z = cos*1
и
gil=E gn = g2i = 0, g22 = sin2xl.
Это обычно записывают в виде ds2 = d02sin2 0Лр2; то же самое можно
получить из выражения для линейного элемента ds2=dr2+r2d02-!-r2sln20<ftp2
в сферической системе координат в Е3, положив г- 1, dr = 0.
Заметим (доказательство см. в книге Эйзенхарта [1926]), что "-мерное
