Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
** • • • SjSj... • • • у
контравариантные и ковариантные ранги которого суть суммы соответствующих
рангов тензоров Т и S. Описанный процесс построения тензоров называется
внешним умножением1) векторов и тензоров.
Если у некоторого тензора один и тот же символ встречается как в верхних,
так и в нижних индексах, то вступает в силу соглашение о суммировании
(относительно повторяющихся индексов) и в результате получается тензор
меньшего ранга; например, если задан тензор то можно определить
тензор
Rki = RJki/i или> например, из тензора SIklm можно получить скаляры SikJk
и Sjkkj. Такая процедура называется сверткой. Внешнее умножение с
последующей сверткой называется внутренним умножением, например если vJ и
wf-векторы, то vJWj-скаляр2).
Легко проверяемым обращением последнего результата служит закон
частного3), который утверждает, что если задано множество наборов величин
{о1) и с каждой картой, содержащей некоторую точку Р0, связан один такой
набор и если для каждого кова-риантного вектора {Wj), определенного в
точке Р0, величина viWj является скаляром (инвариантом при изменении
координатных систем), то наборы {и1} определяют контравариантный вектор
(в точке Р0). Ковариантные и контравариантные векторы здесь можно
поменять ролями. Вообще если, например, заданы наборы п3 величин {T/kl\,
такие, что величины
SJ = T/kl°*wi
х) Чаще это умножение называется тензорным, а внешним умножением
(кососимметрических) тензоров называют альтернирование тензорного
произведения (см., например, Мищенко и Фоменко [1980]). - Прим. перев.
2) То есть обычное скалярное произведение векторов.- Прим. перев.
3) Наиболее общую формулировку этой теоремы см. Векуа [1978, с. 73],-
Прим. перев.
212
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
преобразуются согласно закону преобразования ковариантных векторов
(26.1.10) для любых векторов {vk} и {wt}, определенных в точке Р0, то
{ТJk1} преобразуется согласно закону преобразования тензоров
соответствующего типа-ковариантных ранга 2 и контравариантных ранга 1.
Короче говоря, ТJkl является тензором.
Замечание о терминологии, встречающейся в некоторых книгах по
дифференциальной геометрии. Часто используется иное определение
векторного поля, которое будет приведено ниже: если vJ'-контравариантное
векторное поле, то линейный оператор
def
L = v^d/dxJ', примененный к дифференцируемому скаляру /, дает скаляр
Lf = vJ'(df/dxJ). Если многообразие и функции f и и1
принадлежат классу С(r), то L отображает класс С(r) функций
в себя. Более того, если f и g-любые две такие функции, то
Lfg = fLg + gLf-, (26.2.4)
линейный оператор, обладающий этим свойством, называется, как и в гл. 25,
дифференцированием. Обратно, если L-любое дифференцирование на алгебре
С(r)-функций, то может быть построено такое векторное поле v1', что L =
vJ'(d/dxJ), если оператор L имеет достаточно локальный характер. Для того
чтобы L был представим в таком виде, необходимо, очевидно, чтобы в случае
согласованности скаляров f и g в некоторой окрестности {/сгМ скаляры Lf и
Lg также были бы согласованы в 'U. Верно даже большее: если L можно
представить таким образом, Р-произвольная точка, а равенство
д//дх' (р = dg/dxJ |Р (/' = 1, ..., п) (26.2.5)
выполняется на любой карте (следовательно, на любой карте, содержащей Р),
то Lf и Lg должны быть согласованы в Р. (Оказывается, что любой линейный
оператор L, удовлетворяющий этому условию, обязательно является
дифференцированием.) Чтобы построить поле vJ' в любой точке Р данной
карты, определим функции /Ч> (х), | = 1, ..., п, равенствами
/</> (х) =х',
выполняющимися в окрестности точки Р, а затем положим
п'(х) = L/v> (х).
Это определяет функции и1 (х) на всей карте. Введем обозначение
g(x) = x''(d//dx'"
для любого С(r)-скаляра /(х) и для любой точки Р на карте. Ясно, что / и g
удовлетворяют равенствам (26.2.5); следовательно, Lf\p = Lg\p =
vJ'df/dxS\p, (26.2.6)
26.3. Метрика в евклидовом пространстве
213
Поскольку в левой части стоит скаляр, из закона частного следует, что vi
преобразуются при замене координат как компоненты конт-равариантного
векторного поля и что L является дифференцированием. Поэтому между
локальными дифференцированиями и векторными полями существует взаимно
однозначное соответствие, и на основании этого некоторые авторы
определяют векторное поле как локальное дифференцирование на алгебре С°°-
функций на многообразии. Мы будем использовать первое определение,
которое является традиционным для большинства областей физики.
26.3. МЕТРИКА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Если X1, ..., X"-декартовы координаты в евклидовом пространстве, а х1,
..., хп-криволинейные координаты, через которые декартовы координаты
выражаются в виде X' = Х' (х1, ..., хп),
( = 1 п, то мы получаем играющий важную роль метрический
тензор gjk:
Sjk
Очевидно, что для данной координатной системы х1 хп
мы получим те же самые функции gjk(-.-), если Xi заменить на другие
декартовы координаты, скажем X1', полученные из Х> вращением осей
