Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 86

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 162 >> Следующая

В то время как скалярное поле представляет собой множество функций
/(••¦)> связанных с каждой картой, векторное поле или тензорное поле
являются множествами наборов функций, причем с каждой картой связан один
набор. На перекрытии двух карт два соответствующих набора функций связаны
законом преобразования, являющимся обобщением условия (26.1.2) для
скаляров.
В качестве первого примера векторного поля рассмотрим градиент скаляра /
(Р) (относительно скаляра предполагается, что он принадлежит классу С1).
На карте {U, ср, vV} градиент состоит из частных производных функции
(26.1.1), а именно
V;{xx, ..., хп) = д](хх, ..., хп)/дх'\ (26.1.4)
или, короче,
ц,-(х) = (5/ (х)/дх' (г = 1, ,.,,"). (26.1.5)
Если на перекрытии двух карт связи, устанавливаемые уравне-
ниями (26.1.3), описываются (как и в § 23.2) функциями
х =х' (х'1, ..., х'п), (26.1.6)
хч = хч{х\ хп) (26.1.7)
и если на второй карте также записан соответствующий градиент
v\;(х') =<5/' {х')!дхч, (26.1.8)
то связь между двумя наборами функций {иг| и {и-} на перекрытии двух
координатных систем выражается равенством
v'i {х) = {дхк {х')!дхч) vk (х). (26.1.9)
26.1. Скалярные и векторные поля на многообразии
207
(Здесь используется соглашение о суммировании, согласно которому правая
часть равенства означает сумму по k от 1 до п; k называют немым
индексом.) Как и (26.1.1), равенство (26.1.9) интерпретируется как
тождество, если х' выражены через хч или хч выражены через х'
В дальнейшем указание на аргументы будет опускаться; тогда равенство
(26.1.9) записывается короче:
и,= (дхк/дх'1')ик-, (26.1.10)
это равенство выражает закон преобразования для ковариантных векторов.
Обозначение хк можно использовать как для переменной, так и для функции;
в (26,1.10) оно использовано для функции, и нужно смотреть на
"знаменатель" частной производной, чтобы узнать, какие переменные
являются независимыми: если там есть штрих, то независимыми переменными
являются х'1, ..., х'п, а если там два штриха, то независимые переменные-
х"1, ...,х"п, и т. д. Это соглашение является стандартным.
Ковариантное1) векторное поле на М определяется как множество наборов
{н,-} п функций, причем с каждой картой на М связан один такой набор, а
соотношение между двумя такими наборами на перекрытии соответствующих
карт выражается законом преобразования (26.1.10).
Замечания. (1) Векторное поле не обязательно является градиентом какого-
то скалярного поля, как это было в предыдущем примере. (2) Две карты
могут перекрываться в точности по их общей области определения U с: М; в
этом случае о законе преобразования (26.1.10) говорят как о замене
независимых переменных в обычном смысле.
Закон преобразования транзитивен: если вслед за (26.1.10) делается другое
преобразование координат xf/ в координаты х"*, то v"j и Vj связаны
должным образом, потому что на перекрытии трех карт
дх'к - дх'к дх1 дх1 ,пс 1 1 1 \
V:- rVk- Г -",= rV[. (26.1.11)
1 дх"I дх"1 дх'к 1 дх"> 1 '
Чтобы получить теперь пример так называемого контрава-риантного
векторного поля, рассмотрим течение жидкости на Ж. Если в момент времени
t частица жидкости изображается точкой
1) Префикс "ко" означает "так же, как", "одинаковый" и т. д., а
префикс "контра" (см. ниже) указывает на противоположность. Здесь термин
"кова-риантный" (вектор, тензор) поясняет, что данный объект изменяется
при преобразовании координат так же, как градиент (т. е. при помощи
транспонированной обратной матрицы Якоби преобразования х->-х');
контравариантные объекты преобразуются "противоположным" образом, т. е.
при помощи матрицы Якоби, например так же, как скорость (см. далее).-
Прим. перев.
208
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
Р (t), то в некоторой карте {[/, q>, N} ее координатами являются xk(t),
где х (t) = <р (Р (/)); величины
vk (t) = dxk (t)/dt, k=\
называются компонентами обобщенной скорости. [Они являются декартовыми
компонентами скорости соответствующей точки х(/) в координатном
пространстве R".] Если x'k(t) и v'k(t)-соответствующие координаты и
компоненты скорости относительно другой карты {[/', q>', N'}, то
v'k (t) = (dx'k/dxl) v1 (t).
Если для описания течения всей жидкости (а не одной частицы)
рассматриваются компоненты о'(х) скорости частицы жидкости, которая в
момент времени t находится в точке х, то закон преобразования выглядит
так:
v'k (\') = (дх'к (x)/dx/)vf (х).
Подобно (26.1.1) и (26.1.9), это равенство является тождеством на
перекрытии карт, если обе его части выражены либо в переменных х', либо в
переменных хп. Мы снова будем опускать излишние подробности обозначений.
Контравариантное векторное поле на М определяется как множество наборов
{v1} п функций; с каждой картой связан один набор, причем закон
преобразования
v'k = (dx'kldxf)vJ (26.1.12)
выполняется для любых двух таких наборов на перекрытии соответствующих
карт. Отличие этого преобразования от (26.1.10) подчеркивается
местоположением штриха в производной.
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed