Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 85

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 162 >> Следующая

римановы и псевдоримановы накрывающие многообразия.
Предварительные сведения: элементарная теория многообразий (гл. 23 и 24).
Многообразие по определению гл. 23 - это объект, полностью
характеризуемый своей локальной топологией: оно является локально н-
мерным пространством, удовлетворяющим аксиоме Хаусдорфа об отделимости. В
этой и в двух следующих главах многообразие будет наделено геометрической
структурой путем введения новых понятий, таких, как геодезические кривые
(геодезическая - это аналог прямой в евклидовой геометрии), длины, углы и
т. д. Наиболее важным из них является понятие геодезической, которое в
основных интересующих физиков геометриях получается либо из понятия
метрики, либо из понятия аффинной связности; для нас исходным будет
понятие метрики, поскольку она подобна расстоянию в общеизвестной
евклидовой геометрии.
Грубо говоря, геометрические свойства есть нечто противоположное
глобальным топологическим свойствам данного многообразия, для которого
последние выражаются посредством целочисленных или дискретных величин,
подобных числу компонент, фундаментальной группе, высшим гомотопическим
группам, тогда как геометрия описывается непрерывными вещественными
величинами - длинами, углами, натуральным параметром вдоль геодезической
(см. § 26.6, 26.7 и 26.12).
Риманова геометрия исходит из метрической дифференциальной формы
dsi='^lg/kdx/ dxk (в данной координатной системе), которая и определяет
геометрические свойства. Геометрия единичной двумерной сферы служит
простым и известным примером неплоской двумерной геометрии; для нее ds1 =
d82-fsin29^s
26.1. Скалярные и векторные тля на многообразии
205
(в сферической системе координат). Геодезическая (наикратчайший путь)
между двумя точками на сфере-дуга большого круга; отсюда следуют
различные теоремы сферической геометрии, например сумма углов
треугольника (сторонами которого служат геодезические) превышает я на
величину, равную площади треугольника.
Хотя общее риманово многообразие в принципе можно было бы рассматривать
как вложенное в некоторое евклидово пространство EN достаточно большой
размерности (точно так же, как двумерную сферу можно рассматривать как
поверхность единичного шара в Е3), при изучении внутренних геометрических
понятий, порождаемых метрикой, удобнее пользоваться внутренними
(собственными) координатами.
Если метрическая форма на многообразии Ж положительно определена (см. §
26.4), то Ж называется римановым многообразием; если она не положительна
(индефинитна), то Ж называется псевдоримановым многообразием-такие
многообразия фигурируют в общей теории относительности. Как мы увидим,
существуют глубокие отличия между этими двумя типами многообразий. Далее
предполагается, что Ж является связным и СА-гладким многообразием, где k
достаточно велико, чтобы обеспечивать существование любых встречающихся в
данной теории производных,-для этой и следующих двух глав достаточно
взять &=4. В теории относительности нельзя предполагать, что Ж
принадлежит классу С", потому что метрика определяется распределением
материи, которое необязательно бесконечно дифференцируемо, а также
потому, что уравнения гравитационного поля, будучи гиперболическими,
допускают распространение разрывов различных производных от в виде
гравитационных волн.
26.1. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИИ
В евклидовом пространстве с декартовыми координатами х1, ..., хп
векторное поле описывается п функциями v{ (х1, ..., хп), i= 1, ..., п,
причем при преобразовании декартовых координат вращением осей компоненты
v1 vn векторов преобразуются той же матрицей вращения, что и координаты
х1, ..., хп.
Если рассматриваются криволинейные координаты, то становится необходимым
различать два типа векторов: ковариантные и конт-равариантные, которые
имеют различное физическое или математическое происхождение (иногда
вводятся также так называемые векторные плотности разнообразных порядков;
это часто удобно, но не необходимо).
Прежде всего рассмотрим скалярное поле (скаляр) на многообразии Ж, т. е.
функцию f(P) на Ж, вещественнозначйую, если не сказано другое. Когда f(P)
задана во всех точках Р$М,
206
Гл. 26. Метрика и геодезические на многообразии
как в § 23.5, с каждой картой {[}, ср, N] связана функция /(л:1, ..., хп)
= / (х), определяемая уравнениями
f(x) = /(/>), Х = ср (Р) VP?U. (26.1.1)
Множество всех функций /(...), связанных с каждой картой, можно
рассматривать как определение скалярного поля / (Р). Если {?/', <р'. ЛГ)-
другая координатная карта, то связь между соответствующими функциями / и
/' на перекрытии двух карт выражается просто:
/(х) = /' (х'), (26.1.2)
где
х = ср(/3), х'=ср' (Р). (26.1.3)
Соотношение (26.1.2) интерпретируется следующим образом: оно становится
тождеством по х1, ..., хп, если х'' (в правой части) выражаются через
х1', или тождеством по х'1', если х'
(в левой части) выражаются через хч\ / и /' принимают одно и то же
значение в данной точке Р?М.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed