Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 84

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 162 >> Следующая

представлениях алгебр Ли. Будет показано, что если 5-универсальная
накрывающая группа группы SL (2, R) (т. е. группа вещественных матриц
размера 2 х 2 с детерминантом, равным единице), то G не имеет никаких
точных конечномерных представлений.
Получим канонический вид любой матрицы М группы SL (2, R). Пусть R-
вращение [элемент подгруппы SO (2)], которое преобразует первый столбец
матрицы М в вектор с компонентами а, 0, где а > 0. Тогда RM имеет вид
(а Ь\
202
Г л. 25. Г руппы Ли
Возьмем а = ехс-е~х. Тогда
для некоторого вещественного у. Отсюда, если вращение мы имеем
Это и есть искомый канонический вид. Отсюда следует, что многообразие
группы SL (2, R) есть прямое произведение окружности и двух прямых, С1 X
R2- Так как универсальным покрытием Сх является R, многообразие группы G
есть R3.. .
Алгебра Ли Л группы SL (2, R) имеет в качестве базиса матрицы
где во всех случаях индекс нуль указывает на то,- что приведенные матрицы
вычислены при в = х = у = 0. Непосредственные вычисления показывают, что
Эти уравнения можно разрешить относительно Li, L2i L$, т. е. произведения
Ли, стоящие в левых частях равенств, также образуют базис для алгебры Л.
Из определения произведения Ли через коммутаторы в группе следует, что
эта группа порождается коммутаторами, т. е. элементами вида ghg~xh~x.
Используя рассуждения, приведенные в первом примере, можно получить, что
для всех g из SL (2, R) detp(g)=l, когда р-любое представление.
Поскольку G и SL (2, IR) изоморфны в окрестности единичного элемента, они
имеют совпадающие алгебры Ли и Л также является (в смысле изоморфизма)
алгеброй Ли группы G. Следовательно, если р-любое представление группы G,
то detp(g) = l для всех g из G. Иначе говоря, любое представление группы
G унимодулярно.
Можно показать, что алгебра Ли А проста. В самом деле, если Л имеет идеал
J, содержащий ненулевой вектор L~aLi-\-bL2-j-cL3, то J содержит также три
вектора [Lj, X,] и девять векторов [Z,j, \Lj, X,)]. Непосредственные
вычисления с использованием формул (25.А.З) показывают, что Li, L2, L3
можно выразить в виде некоторых линейных комбинаций этих 13 векторов (при
этом совсем не обязательно переходить к произведениям Ли порядка выше
первого); следовательно, J совпадает с А, т. е. Л является простой
алгеброй Ли.
Обозначим через g0_ ж> у элемент (25.А.2) группы SL (2, R), где 0"с6<;2я.
Тогда 0^ х, у с неограниченным 0 могут быть взяты в качестве координат
элементов х v в группе G таким образом, чтобы в накрытии группы SL (2, R)
(25.А.2)
1_ 50 о дМ
L 2
L$ = -5-
ду о
дМ
[Li, Z.2]=2Z.1 + 4L3, \L%, L3\=2L3,
\L3, Li]=L2.
(25. A.3)
группой G элемент g'e, x когда 0's0 (mod2n).
из G лежал над элементом ge> x из SL (2, R),
Прилож. к гл. 25. Две нелинейные группы Ли
203
Пусть теперь р-представление группы G на m-мерном векторном пространстве
Vm = Cm. Будет показано, что р не является точным. Некоторое
представление алгебры Л, которое будем также обозначать через р,
индуцируется обычным образом:
Р (Li) = Ф (g 0> J/36 \ь=х=у=й ит. д.
Согласно Хаузнеру и Шварцу [1968, с. 143, теорема 2], представление
(вещественной или комплексной) простой алгебры Ли Л вполне приводимо, т.
е. Vm может быть представлено в виде прямой суммы Vk' ф Vk2 (r) ...
инвариантных подпространств, в каждом из которых р неприводимо (^]fty =
m). Группа 5 порождается элементами вида е^ (Я, ? Л), и р (с?') = ер
следовательно,
представление р группы G также вполне приводимо. Точнее говоря, каждое к
. ~
из подпространств V J пространства Vm инвариантно относительно р (g) для
- - А
всех и сужение ру представления р к подпространству V >
неприводимо.
Пусть gi - элемент g№ " g; gj и все его степени лежат над единичным
элементом группы SL (2, R) и, значит, коммутируют со всеми g ? G;
следовательно, по лемме Шура ру {gi)-\l, где /-единичная матрица размера
kj х kj. Так как каждое представление унимодулярно, detpy(g) = l для всех
g; отсюда \ J = \. Это верно для любого следовательно, существует степень
g( элемента gi ^например, ^ = такая, что р (gi) = p (g\)l = I
[единичная мат-
рица размера т X т]. Но g[ не является единицей группы G; поэтому р не
является точным представлением.
Глава 26
МЕТРИКА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА МНОГООБРАЗИИ
Скалярные, векторные и тензорные поля; скобки Ли; ковариантные и контра-
вариантные векторы; законы преобразования; внутреннее и внешнее
произведения; свертка; закон частного; производные; метрический тензор;
положительно определенная и неопределенная (индефинитная) метрика;
римановы и псевдоримановы многообразия; поднятие и опускание индексов;
геодезические; вариационное уравнение Эйлера; естественный (натуральный),
аффинный или предпочтительный параметр; трехиндексные символы
Кристоффеля; пространственноподобные, нулевые и временноподобные
геодезические; задачи с начальными данными и двухточечные задачи о
геодезических; интегральные уравнения Вольтерра; итерации Пикара; теорема
Уайтхеда; продолжение геодезических; аффинно связные многообразия;
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed