Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
0 А 1-""
-I
0
-1
4. Ст состоит из всех комплексных матриц X размера 2тх2т, таких, что
XJ' -f J'XT = 0.
Следующие упражнения имеют отношение к серии Ат. Серии Вт, Ст, Dm вполне
аналогичны. Более сложные модели исключительных алгебр приведены в книге
Хаузнера и Шварца.
Упражнения
1. Пусть Л' - алгебра Ли комплексных матриц к размера (m+I)X(ffi-j-I) с
произведением [X, jli] = Xfx-рХ,. Вычислите естественную билинейную форму
(к, p) = tr(Ad^Ad^).
[Отметим, что Ad^ и Ad^-линейные преобразования в некотором (т+1)2-мер-
ном пространстве, а именно в А'.] Покажите, что
(к, ц)=2((т+1) tr (Xjli) - (tr к) (tcp,)).
Покажите, что (к, р) вырождена в А' но не вырождена в подалгебре А= Ат
матриц с нулевым следом, так что Ат является полупростой.
2. Обозначим через М коммутативную подалгебру алгебры Ли А из упражнения
I, состоящую из диагональных матриц (с нулевым следом). Рас-
198
Гл. 25. Группы Ли
смотрите присоединенное представление подалгебры М на Л: ц->-Абц, где
(Ad|xX.)/-j= (l^rr №ss) ^rs (r* s-•••" я)'
Рассмотрите корни и корневые векторы этого представления. Покажите, что
корневое пространство Л0, состоящее из всех матриц X, таких, что (|xrr-=
0 Для некоторого k и для всех ц из М, состоит также из диагональных
матриц; следовательно, Л0=А1, а значит, М есть подалгебра Картана.
Покажите, что другие корни а() и соответствующие корневые векторы Ха
можно получить, выбрав фиксированные i и k и положив
a(P)=Pii- Pft*. Xa = X(i,k), где X (i, k) есть матрица
(X (i, ft))№ = [2 (m+ I)]"1/2 6a.6kk,, и что вектор Ца есть диагональная
матрица, элементы которой имеют вид (Ц<х)"= 1/[2 (m+ 1)], (ца)** =-
1/[2 (т+ 1)],
(ца) = 0 во всех остальных случаях.
Покажите, что простое множество корней есть множество
"f(P) = Pi + i 1 + 1 -14 h '=1 т-
Покажите, что угол между и ца, ^ равен 120°, а во всех остальных случаях
угол между векторами ца, и ца равен 90°, так что диаграмма Дынкина
алгебры Л имеет тип Ат, т. е.
О-О-**•-О (т кружков)
Классификациию и модели простых вещественных алгебр Ли, которые нужны для
классификации групп Ли, читатель может найти в книге Хаузнера и Шварца.
Напомним, что если А - простая вещественная алгебра Ли, то ее
комплексификация А является либо простой алгеброй, либо прямой суммой
двух идентичных (т. е. изоморфных) простых комплексных алгебр.
Следовательно, для классификации простых вещественных алгебр нужно
изучить каждую простую комплексную алгебру, а затем найти все простые
вещественные алгебры, из которых ее можно получить путем
комплексификации.
Если задана простая комплексная алгебра А, то возможный способ построения
алгебры Л заключается в том, что Л рассматривается как линейное
пространство элементов алгебры Л не над полем скаляров О, а над полем R,
но этот способ не является единственно возможным. Другие возможности
обнаруживаются при рассмотрении так называемых сопряжений в Л. Сопряжение
в комплексной алгебре Ли представляет собой антилинейное отображение С
[т. е. С (аХ-\-Ь\и.) = аСХ-\-ЬС]Г\, которое сохраняет произведения Ли (т.
е. С[Х, ц] = [СХ,, Сц]), причем квадрат этого отображения совпадает с
тождественным отображением [т. е. С (СХ,) = Х]. Множество всех элементов
Я, из А, таких, что СХ = Х, с R в качестве поля скаляров представляет
собой простую вещественную алгебру Ли. Полный анализ сопряжений в простых
комплексных алгебрах Ли, а также перечень получающихся простых
вещественных алгебр приведены в книге Хаузнера и Шварца. Если в качестве
примера А рассмотреть простую комплексную алгебру Ах, состоящую из матриц
размера 2x2 с нулевым следом, то имеется три соответствующие простые
вещественные алгебры, а именно сама Ах (с R в качестве поля скаляров),
25.18. О применении групп Ли и алгебр Ли в физике
199
алгебра
RAt = {вещественные матрицы размера 2x2 с нулевым следом} и алгебра
= {матрицы размера 2x2 вида Ш, где Н эрмитова и имеет след,
равный нулю}.
Отметим, кстати, что некоторые из соответствующих групп Ли являются
группами SL (2, С), Xр, SL (2, R), SU (2) и SO (3).
Каждой простой комплексной алгебре Ат с т. > 1 соответствуют 4 + [(т +
1)/2] простых вещественных алгебр, где [ ] означает целую часть.
Исключительной алгебре G2 соответствуют три вещественных алгебры: G2 (над
R), HGf\ HGf.
25.18. О ПРИМЕНЕНИИ ГРУПП ЛИ И АЛГЕБР ЛИ В ФИЗИКЕ
В гл. 22 была обсуждена роль группы вращений 50 (3) как группы симметрии
в квантовой механике. В расчетах обычно появляется соответствующая
алгебра Ли, а не сама группа. Алгебру Ли группы 50(3), которая, конечно,
совпадает с алгеброй Ли группы SU (2), являющейся универсальной
накрывающей группой группы 50(3), можно реализовать либо как алгебру Ли
вещественных кососимметричных матриц размера 3x3, либо как алгебру Ли
косоэрмитовых матриц размера 2x2 с нулевым следом (в предыдущем параграфе
эта алгебра была обозначена через QA^). Кроме того, эту алгебру можно
реализовать как алгебру Ли операторов в гильбертовом пространстве Н
состояний некоторой физической системы. Если Н рассматривать как
