Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рихтмайер Р. -> "Принципы современной математической физики" -> 81

Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.

Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики — М.: Мир, 1984. — 381 c.
Скачать (прямая ссылка): principisovremennoymatematfiziki1984.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 162 >> Следующая

приведены также размерности / и обозначения соответствующих алгебр, а
именно А2, ?" G2 Когда Мг трехмерно, также существуют три возможные
25.16. Классификация простых комплексных алгебр Ли
195
звезды, соответствующие алгебрам А3, В3, С3. Звезда алгебры А3 состоит из
шести пар противоположных векторов и |ы_причем все они имеют одинаковую
длину и соединяют начало координат с серединами ребер куба, углы между
векторами равны 60, 90, 120 и 180°. В звезде алгебры В3 имеется шесть пар
длинных векторов, расположенных, как и в А3, т. е. ведущих к ребрам куба,
и три пары взаимно ортогональных коротких векторов, образующих углы 45° с
ближайшими длинными векторами, причем отношение длин равно V2; короткие
векторы соединяют начало
Рис. 25.2. Двумерные звезды простых комплексных алгебр Ли.
координат с центрами граней куба. Звезда алгебры С, представляет собой
звезду алгебры В3, в которой длинные и короткие векторы поменялись
местами, так что эта звезда соответствует ромбическому додекаэдру.
Размерности, соответствующие алгебрам А3, Вг, G2, А3, В3, С3, равны 8,
10, 14, 15, 21, 21.
Конечно, бессмысленно говорить о длинах и направлениях векторов Х{,
поскольку они лежат в комплексном пространстве А, для которого (•, ¦) не
является даже эрмитовым скалярным произведением. Но вполне разумно найти
произведения Ли [Д, |н] для достаточно многих пар h, |н так, чтобы
определить структуру алгебры А. Наилучшим образом это делается при помощи
моделей, которые будут описаны в следующем параграфе.
Для того чтобы определить возможные звезды в случае, когда Мг имеет более
трех измерений, используют метод, предложенный Е. Б. Дынкиным. Простым
множеством векторов в звезде назовем некоторое множество П, состоящее из
т векторов ц, (т всегда меньше 2k), такое, что при помощи операций
сложения и вычитания начиная с векторов множества П можно получить все
векторы данной звезды, причем таким путем можно получить лишь, одно
множество векторов, удовлетворяющее приведенным выше условиям 1-4, т. е.
лишь одну звезду. Можно доказать, что всегда возможно выбрать простое
множество векторов. Более того, хотя множество П в общем случае не
единственно, но если допустить, что ГГ - другое простое множество, то
можно установить некоторый автоморфизм
196
Гл. 25. Группы Ли
алгебры Л, при котором М инвариантно, а П переходит в ГГ; следовательно,
неважно, какое простое множество используется. Возможными углами между
любыми двумя векторами множества П будут 90, 120, 135 и 150°.
Диаграмма Дынкина представляет собой множество т точек (или кружков) на
плоскости по одной для каждого вектора из П. Если угол между двумя
векторами из П равен 120, 135 или 150°, то соответствующие точки
диаграммы соединяются одинарной,
Тип Ат(т>1) О-О"'О-О 1=и(тп+2)
Вт(т>,2) О-О* "0=0 7п(2т+1)
Ст(п>,Ъ) О-О'"0=0 т(2т+1)
Гт(т>4) 0-0"<Х^ гп(2от-1)
Ет(и = 6,7 или 8) О 0-СС^~° 78,133,248
F* О-0=0-О 62
<?2 ОЦ*) 14
Рис. 25.3. Диаграммы Дынкина для простых комплексных алгебр Ли.
двойной или тройной линией в зависимости от перечисленных значений угла;
если угол равен 90°, то соответствующие точки не соединяются. Если угол
равен 135 или 150°, то точка, соответствующая короткому вектору,
отмечается звездочкой. Можно доказать ряд результатов, относящихся к
диаграммам простых комплексных алгебр, например: диаграмма не содержит
никаких петель, она связна, она содержит самое большее одну двойную или
тройную линию, она может иметь не более одного ветвления и т. п. Как
следствие этих правил обнаружено, что существует в точности семь типов
диаграмм Дынкина, приведенных на рис. 25.3 (где т - число точек, которое
равно размерности пространства М, а /- размерность алгебры А).
Типы Ат, Вт, Ст и Dm представляют собой регулярные серии, а остальные
пять алгебр называются исключительными.
2S.17. МОДЕЛИ ПРОСТЫХ КОМПЛЕКСНЫХ АЛГЕБР ЛИ
Вышеуказанная классификация получается благодаря наложению различных
условий, которым должна удовлетворять простая
25.17. Модели простых комплексных алгебр Ли
197
комплексная алгебра Ли и которые появляются в результате весьма
продолжительных алгебраических рассмотрений. Для того чтобы показать, что
никаких дополнительных условий нет и, следовательно, все упомянутые выше
алгебры в самом деле существуют, строятся модели этих алгебр. Модели
регулярных серий суть алгебры матриц, которые будут определены ниже. Мы
будем по-прежнему
обозначать элементы алгебр символами X, р. несмотря на то,
что для матриц могут казаться более подходящими другие символы.
1. Ат состоит из всех комплексных матриц размера (т-Н)Х X (m-Н) с
нулевым следом; см. упражнения ниже. Для Вт и Dm необходимо ввести
антидиагональную матрицу J размера рХр
2. Вт состоит из всех комплексных матриц X размера (2т + l)x(2m+ 1),
таких, что XJ-\-JXr = 0 (p = 2ffi+l).
3. Dm состоит из всех комплексных матриц X размера 2тх2т, таких, что XJ-
\-JXr = 0 (р = 2т).
Для Ст необходимо ввести антидиагональную матрицу размера 2тх2т
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 162 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed