Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
25.16. Классификация простых комплексных алгебр Ли
193
комплекснозначной в зависимости от того, является ли Л вещественной или
комплексной алгеброй Ли, но (А., ц) не является положительно
определенной, исключая специальный случай, о котором будет сказано ниже.
Основная теорема, именуемая критерием Картана, гласит, что вещественная
или комплексная алгебра Ли полупроста в том и только том случае, когда
симметричная билинейная форма невырожденна, а это означает, что не
существует отличного от нуля элемента X, для которого (X, ц) = 0 при всех
|и.
Если А-любая комплексная алгебра Ли, а М - нильпотент-ная подалгебра, то
мы можем применить теорему 2 к присоединенному представлению подалгебры М
на А, заменяя символы р(|и) и У на Ad^ и Л. Веса, весовые векторы и
весовые пространства этого представления в таком случае называются
соответственно корнями, корневыми векторами и корневыми пространствами
подалгебры М в Л. Если а(-) есть корень, то соответствующее корневое
пространство обозначается через Л"; оно является подпространством
пространства Л. Из нильпотентности М следует, что нулевая функция, т. е.
а(А.) = 0 для всех X, представляет собой один из таких корней, а
соответствующее корневое пространство, обозначаемое через Л", содержит М.
Если нильпо-тентная подалгебра М может быть выбрана так, что Л0 совпадает
с М, то М называется подалгеброй Картана алгебры Л. Основная теорема
гласит, что любая комплексная алгебра Ли имеет подалгебру Картана.
Оказывается, что в случае комплексной полупростой алгебры Ли Л: (а)
подалгебра Картана М коммутативна; (б) для каждого афО корневое
пространство Ла одномерно; (в) если а-корень, то-а также корень; (г) если
X и X' - ненулевые векторы в Ла и в Л_а, то [А, А.'] есть ненулевой
вектор в М и (X, Х')ф0. Пронумеруем ненулевые корни так: ± "ц ± "2> • • •
> ± аь> выберем векторы Х{ и J,.; в Ла. и в A_a; нормированными так, что
(Xit Х_[) = 1, и введем обозначения
= Л,.,], / = 1,
Можно показать, что М является линейной оболочкой векторов
Из пунктов (а) и (б) предыдущего абзаца следует, что в случае полупростой
алгебры появляются только обычные корневые векторы (т. е. нет обобщенных
векторов). Для корневых векторов (А.а (а Ф 0) это следует из одномерности
подпространства Аа; и любой вектор v в Л0 = М есть корневой вектор,
потому что Абду = 0 для всех ц в М.
Подалгебра Картана не единственна, но можно показать, что если М' - любая
другая подалгебра Картана в Л, то М и М' имеют одинаковую размерность и
существует автоморфизм алгебры Л, который переводит М в М'\
следовательно, любая из таких
1-94
Гл. 25. Группы Ли
подалгебр может быть использована для исследования структуры алгебры Л.
Обнаружено, что конфигурация векторов ц, полностью определяет алгебру Ли.
Описание этой конфигурации сильно упрощается при учете того счастливого
обстоятельства, что если Мг обозначает вещественное векторное
пространство, состоящее из линейных комбинаций ц, с вещественными
коэффициентами, то естественная билинейная форма (• , •) является
вещественной и положительно определенной в Мг; следовательно, Мг
представляет собой евклидово пространство, если (• , •) взять в качестве
скалярного произведения. Можно показать, что вещественная размерность
пространства Мг совпадает с комплексной размерностью пространства М, и мы
обозначим ее через т. Тогда (комплексная) размерность алгебры А равна т +
2k. Длина вектора )и в Мг есть || jn || = (jn, ]и)1/2, а угол между двумя
такими векторами определяется равенством
cos^/ц, V = (p, v)/(|| p.! || v I).
Звезда в Мг, которая состоит из векторов ц., выходящих из начала
координат, имеет довольно высокую степень симметрии и может быть описана
следующим образом.
1) Для любой заданной простой алгебры А либо все ц,- имеют одинаковую
длину, либо существуют две длины, причем часть векторов ц,- обладает
одной длиной, остальная часть-другой.
2) Угол между любыми двумя векторами представляет собой целое кратное 30
или 45°.
3) Если угол равен 30 или 150°, то один вектор длинный, а другой-
короткий, причем отношение длин равно У 3. Если угол равен 45 или 135°,
то отношение длин равно V2. Если угол равен 60 или 120°, то оба вектора
имеют одинаковую длину.
4) Вся звезда симметрична относительно отражения в каждой гиперплоскости,
перпендикулярной к одному из ц,.
Любая минимальная звезда, удовлетворяющая этим условиям, определяет
единственную простую комплексную алгебру Ли, и различные звезды
определяют различные алгебры. Если А полупроста и является прямой суммой
простых алгебр, т. е. A = A10...0Aft, то Мг натягивается на k взаимно
ортогональных подпространств, каждое из которых содержит звезду одной из
простых алгебр.
Допустим теперь, что алгебра А проста. Когда Мг одномерно, звезда состоит
из двух противоположных векторов одинаковой длины и алгебра А,
обозначаемая через Аг, имеет размерность / = 3. Когда Мг двумерно,
существуют три возможные звезды, которые изображены на рис. 25.2, где
