Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
А = Ах0...(r) Aft,
где каждое слагаемое Ак является простой алгеброй.
Если А-вещественная алгебра Ли, то ее комплексификация определяется как
комплексная алгебра Ли А, элементами которой являются формальные суммы +
где к и ц принадлежат А, и для которой линейные комбинации и произведения
Ли определяются очевидным образом; в частности,
р.х-Ицх, ^2 + 1Ц2] = [^х, ?v2] + i[|nx, ?.2]-M[V Ц2]-[м-i, М3]-
25.16. Классификация простых комплексных алгебр Ли
191
Алгебра Л полупроста в том и только том случае, когда Л полу-проста. Если
Л проста, то ее комплексификация либо проста, либо представляет собой
прямую сумму двух идентичных (т. е. изоморфных) простых комплексных
алгебр.
Любая вещественная или комплексная алгебра Ли Л содержит нильпотентные
подалгебры (они, разумеется, не являются идеалами, если Л полупроста); в
частности, она содержит так называемую подалгебру Картана М, определяемую
ниже, которая является нильпотентной. Для анализа структуры алгебры Л
исследуют структуру подалгебры М и соотношение между элементами М и
остальными элементами алгебры Л. Это соотношение описывается при помощи
операторов Ad^, ц?М; оператор Ad^ преобразует элемент алгебры Л в
некоторый другой элемент Л, а именно преобразует X в [ц, Л,]. Отображение
ц -> Ad^ есть представление подалгебры М на векторном пространстве Л;
поэтому теория начинается с рассмотрения общих представлений разрешимых и
нильпотентных алгебр Ли.
Изучение представления р абстрактной алгебры Л имеет то преимущество,
что, в то время как X из Л представляет собой абстрактный объект, р(^)
является линейным преобразованием в векторном пространстве, и, значит,
могут быть применены стандартные методы линейной алгебры; например, в
комплексном случае преобразование р (>.) имеет по крайней мере одно
собственное значение и один собственный вектор. Кроме того, произведение
Ли преобразований р(>.) и р(ц) есть просто р(^)р(ц) - - р(ц)р(Ь).
Пусть р-представление любой алгебры Ли А на векторном пространстве V.
Назовем v из V весовым вектором представления р, если он является
одновременно собственным вектором всех преобразований р(/.), т. е.
если
р(>.) v = a(k) v
где a(-)-скалярнозначная функция, очевидно линейная, определенная на А и
называемая соответствующим весом представления р. Вектор v из К является
обобщенным весовым вектором представления р, соответствующим весу а(-),
если для некоторого целого k
(p(Ji)-o(3L)/)*v=0 VJi^A,
где /-тождественное преобразование в V. Множество всех обобщенных весовых
векторов для данного а(-) называется соответ-ствущим весовым
пространством и обозначается через Va. Таким образом, вес, весовой вектор
и весовое пространство соответствуют собственному значению, собственному
вектору и алгебраическому собственному подпространству для случая
единственного линейного преобразования. В этом последнем случае, если V -
комплекс-
192
Г л. 25. Г руппы Ли
ное векторное пространство, то оно является прямой суммой всех
алгебраических собственных подпространств Ej(c) • • • (c)^s. соответствующих
собственным значениям z*, zk,-это отражение
того факта, что любая матрица может быть приведена к жорда-новой
нормальной форме. Аналогичные результаты имеют место для весов и весовых
векторов, когда рассматриваемая алгебра Ли разрешима или нильпотентна.
Теорема 1. Если р-представление разрешимой комплексной алгебры Ли М на
векторном пространстве V, то р имеет хотя бы один весовой вектор v и
соответствующий вес а (•).
Если далее допустить, что М нильпотентна, то мы имеем следующий
результат.
Теорема 2. Если р-представление нильпотентной комплексной алгебры Ли М на
векторном пространстве V, то весовые пространства представления р
натягивают V; иначе говоря, V является прямой суммой весовых пространств:
е=е",(c)...(c)Ч,
где Va.-весовое пространство, соответствующее весу а/( •), / = 1, /.., k.
Доказательство каждой из этих теорем осуществляется при помощи индукции
по размерности п алгебры М; идеал М2 не совпадает с М, и если N есть
подпространство М размерности п-1, содержащее М2, то N является
подалгеброй (на самом деле идеалом), причем она разрешима в случае
теоремы 1 и нильпотентна в случае теоремы 2; следовательно, индуктивное
предположение может быть применено к N. Индукция начинается е п=1, но в
этом случае с точностью до скалярного множителя имеется лишь одно
линейное преобразование р(r) и утверждения теорем сводятся к хорошо
известным соответствующим фактам линейной алгебры. Алгебраическая работа
для выполнения этих доказательств вполне проста, но объем ее столь велик,
что может обескуражить слабого духом.
Теперь введем два понятия, играющих важную роль при анализе общей алгебры
Ли А: симметричная билинейная форма и подалгебра Картана. Первое понятие
относится к симметричной форме (X, ц), определенной для всех X и ц из А
посредством равенства
(X, m = tr (AdH Ad?J,
где tr означает след1). Эта форма может быть вещественно- или
х) Эта билинейная форма иногда называется формой Киллинга.- Прим. перев.
