Принципы современной математической физики - Рихтмайер Р.
Скачать (прямая ссылка):
Две следующие теоремы показывают, что если G0-замкнутая подгруппа G
(которая может как быть, так и не быть нормальной), то в G можно так
выбрать логарифмические координаты, что они, будучи определены в G0,
будут логарифмическими координатами в G0, и тем самым G0 станет группой
Ли со всеми присущими ей свойствами, а ее алгебра Ли будет подалгеброй
алгебры Ли группы G.
Если сё\ g(t) (О^Л^е)-любая гладкая кривая, выходящая из единицы (g (0) =
1) и лежащая в подгруппе G0, то касательный вектор к (? в 1 называется
касательным вектором к G0 в 1.
Теорема 2. Пусть G0-замкнутая подгруппа G. Тогда множество А0 всех
касательных векторов к G0 в 1 есть подалгебра алгебры Ли группы G. Если
G" является нормальной подгруппой, то А0-идеал.
25.14. Теорема о гомоморфизмах для групп Ли
183
Доказательство. Допустим, что Х,?Л0. Тогда существует гладкая кривая
g(t), лежащая в G0 и такая, что
In (g(t)) = U+...,
где многоточие означает члены порядка 1г и выше. Для любого
положительного целого т g{t/m)m принадлежит G0 и, согласно формуле КБХ,
In (g(t/m)m) = kt+...,
где теперь многоточие означает члены порядка (Чт и выше. Полагая т->-оо,
мы видим, что в силу замкнутости множества G0 kt является координатой
некоторой точки в Ga; поэтому для "к ? А0 е1 принадлежит G0. Пусть М ?ЛП
и Ха^А0; тогда по формуле КБХ вектор
In (<?я- V*') =/(",! + kt) + V./* [ Л"] + • • ¦
является координатой некоторой точки в G0. Используя рассуждения,
аналогичные проведенным выше, и рассматривая линейные члены разложения,
мы устанавливаем, что Х,1 + Х,2^Лв и (в более общем виде) /M + sX.2 Для
вещественных / и s принадлежит А", так что Л0 является подпространством.
Аналогичным образом при учете квадратичных членов устанавливается, что
[А,1( Л,1€Лв и, значит, Л* - подалгебра. Наконец, в случае когда G0 -
нормальная подгруппа, лишь один из элементов A,lt кг должен принадлежать
А0, и мы видим, что Л0- идеал.
Теперь ясно, как надо определить координаты в G,. Пусть
Ej е"-базис векторного пространства Л, такой, что e1F ..., е^
(k < п) является базисом Л". Любой элемент к представляется в виде
Я="Х1е1+ ... + кпгп, и в таком случае Xх, ..., № можно принять в качестве
координат в G0 в подходящей окрестности единицы. Для того чтобы найти эту
окрестность, допустим, что N-окрестность нуля в алгебре Ли Л группы G, в
которой могут быть использованы логарифмические координаты. Тогда
пересечение МГ)Лв представляет собой открытое множество в Л0 и,
следовательно, содержит окрестность N0 (связное открытое множество) нуля
в Л0. Множество (J0 в группе G0, задаваемое как
U0 = {g€G0: In g€W0},
и отображение q>e(g) = (^\ ...,кк) множества U0 в R* определяют некоторую
карту {Ua, q>", N0) в G0. Она и другие карты, полученные при помощи
трансляций в G0, как это описано в §25.11, называются унаследованными {от
G). Таким образом, мы приходим к следующей теореме.
Теорема 3. Если G0-замкнутая подгруппа G, а А и Л" имеют описанный выше
смысл, то G0 со своими унаследованными картами представляет собой группу
Ли, а Л0-ее алгебру Ли.
В следующих двух теоремах устанавливается, что если G0 - замкнутая
нормальная подгруппа, то факторгруппа G/G0 может быть снабжена такой
структурой многообразия, которая делает ее группой Ли; алгебра Ли этой
группы изоморфна Л/Л0; естественный
184
Гл. 25. Группы Ли
гомоморфизм G на G/G,, аналитичен по отношению к указанной структуре
многообразия. Последняя из теорем данного параграфа представляет собой
собственно теорему о гомоморфизмах.
Нетрудно видеть, что последние п-k компонент кк+', ...,кп вектора к
относительно базиса .. ., е", описанного выше, можно принять в качестве
координат в G/G0, ибо они постоянны в каждом смежном классе (группы G0 в
G) или, точнее, в пересечении смежного класса и подходящей окрестности V
единицы в G, в которой могут быть использованы логарифмические
координаты. В самом деле, если = где jn^A0, так что ех' и ех находятся в
одном смежном классе, то, согласно формуле КБХ,
>/ = >!.-)-ц + V2[^. м] + • • •;
все члены правой части начиная с ц принадлежат Л0, поскольку Л0 является
идеалом; поэтому к' и к имеют одни и те же последние п-k компонент. Ясно
также, что эти последние компоненты различны (по крайней мере одна из
них) для различных смежных классов. В этих координатах функции умножения
и обращения, т(-, •) и 1(-), в G/G0 непрерывны (фактически ана-литичны).
Для любого произведения ехех' - ev' в G все п компонент вектора к"
непрерывно зависят от всех компонент векторов к и к'\ следовательно, в
частности, это верно и для последних п-k компонент, которые являются
координатами соответствующих смежных классов. Естественный гомоморфизм G
на G/G0, при котором элемент группы ех отображается на смежный класс,
представителем которого он является, непрерывно зависит от этих
координат, ибо данное отображение заключается просто в игнорировании
первых k компонент вектора к.
Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.
